Triangolo equilatero

Costruzione e proprietà del triangolo equilatero

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Triangolo equilatero: costruzione, proprietà e curiosità
Immagine da Wikipedia
Il triangolo equilatero appartiene alla "famiglia geometrica" dei  triangoli generici. E' una figura piana chiusa (poligono) con tre lati e tre angoli interni. Ma appartiene anche (e soprattutto) alla speciale categoria di figure geometriche classificate come poligoni regolari.
Nella geometria piana (geometria euclidea), i poligoni regolari si contraddistiguono dalle altre figure piane e chiuse, per due proprietà fondamentali:
- hanno tutti i lati congruenti (lunghezza uguale)
- hanno tutti gli angoli interni ed esterni tra loro congruenti (ampiezza uguale)

Bene, il triangolo equilatero è il poligono regolare più "piccolo", ovvero quello con un numero di lati minore rispetto a tutti gli altri (n=3). Gli angoli sono tutti uguali e pari a 60°. Che sia una figura geometrica "speciale" non ci sono dubbi per varie sue caratteristiche algebrico-geometriche, ma rimanendo nell'ambito dei poligoni regolari (che è il punto di vista che vogliamo analizzare), oltre ad essere il più piccolo, è l'unico la cui ampiezza dei singoli angoli risulta minore di 90°, ovvero, è l'unico poligono regolare con angoli acuti ed è l'unico a non avere nessuna diagonale interna. Ha ancora un'altra particolarità: è l'unico poligono regolare capace di costruirne un altro (l'esagono), semplicemente "moltiplicandosi" (per sei).

Tutti i triangoli equilateri (essendo dei poligoni regolari) sono simili tra di loro, infatti, per caratterizzare metricamente un triangolo equilatero, ovvero per caratterizzare la classe dei triangoli equilateri nel piano ottenibili gli uni dagli altri mediante traslazioni e rotazioni, serve e basta un parametro estensivo; tipicamente si usa la lunghezza dei suoi lati. Caratteristica unica, le bisettrici, le mediane, le altezze e gli assi si sovrappongono cosicché nel triangolo equilatero lo stesso punto identifica contemporaneamente l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro.

L'intento di questo tutorial per la costruzione di un triangolo equilatero non è solo quello di spiegare come disegnare su carta con l'esclusivo ausilio di riga e compasso, ma anche quello di prendere un po' di dimestichezza con un software didatticamente molto utile come GeoGebra, un software open source per l'apprendimento e l'insegnamento della matematica.
Si vuole quindi approfittare delle spiegazioni sulle costruzioni dei poligoni regolari con riga e compasso per presentare anche gli strumenti, gli oggetti e le funzioni di base di GeoGebra.

 

Costruzione con riga e compasso

Triangolo equilatero fase 1: Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza

Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza

Tracciamo una retta qualsiasi, se riusciamo, "abbastanza" verticale. Verticale perché così la base del nostro triangolo risulterà "abbastanza" orizzontale.
Il nostro obbiettivo è costruire un triangolo equilatero e non è fondamentale che la sua base risulti perfettamente orizzontale.
Si comincia puntando il nostro compasso su di un punto qualsiasi O appartenente alla retta e con una apertura di compasso a piacere si disegna una circonferenza.

Triangolo equilatero fase 2: Si passa poi a tracciare un arco

Si passa poi a tracciare un arco

Dall'intersezione tra la retta e la circonferenza otteniamo un punto P1.
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto P1 con un' apertura pari al segmento P1O.

Triangolo equilatero fase 3: abbiamo ottenuto i tre vertici

Abbiamo ottenuto i tre vertici del triangolo equilatero

Dall'intersezione tra l'arco e la circonferenza otteniamo i punti A e B.
Già nella seconda fase, quando abbiamo disegnato la circonferenza, avevamo ricavato un punto intersecando la retta, punto che ora possiamo evidenziare con la lettera C.
I tre punti A, B e C non sono altro che i vertici del nostro triangolo equilatero.
Non ci rimane che disegnare i lati del triangolo.

Triangolo equilatero fase 4: disegniamo i lati e completiamo la costruzione

Disegniamo i lati del triangolo equilatero

Con una riga disegniamo i tre lati del triangolo equilatero unendo i tre vertici A,B e C che abbiamo precedentemente trovato.

Abbiamo quindi visto come costruire un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza, ma se dovessimo avere la necessità di costruire il triangolo equilatero impostando una lunghezza ben precisa del lato l, avremmo due modi per procedere:

  1. Utilizziamo la procedura di costruzione sopra descritta stando attenti però ad impostare un'apertura di compasso (raggio della circonferenza circoscritta) tale che alla fine risulti un triangolo equilatero con la misura del lato l che desideriamo.
    Sapendo che tra il lato l di un triangolo equilatero ed il raggio r della sua circonferenza circoscritta esiste un rapporto di proporzione definito, per conoscere l'ampiezza dell'apertura del compasso r, sarà sufficiente dividere la lunghezza l per 1,732 (vedere tabella del formulario poligoni regolari).
    In pratica r = l/1,732.
    Facendo qualche esempio concreto:
    per l=6 --> r sarà uguale a 6/1,732 = 3,464
    per l=17 --> r sarà uguale a 17/1,732 = 9,815
  2. Possiamo anche utilizzare una procedura di costruzione diversa che poi è quella che Euclide ha utilizzato nel suo "Elementi I". Per spiegare questo nuovo tipo di costruzione del triangolo equilatero ci serviremo di GeoGebra.

 

Costruzione con GeoGebra

Come si può notare, l'applet dispone di una barra di scorrimento delle diverse fasi di costruzione. Per visualizzare cronologicamente le varie fasi della costruzione del triangolo equilatero, è sufficiente azzerare tutte le operazioni cliccando sul primo pulsante |<< della barra di scorrimento, successivamente si possono visualizzare tutte le singole azioni cliccando di volta in volta sul terzo pulsante >>.
E' possibile modificare il triangolo equilatero interagendo con l'applet, ovvero muovendo i due punti A e B; in questo modo possiamo notare come le misure dei lati tra di loro rimangono sempre uguali, mentre le ampiezze degli angoli misurano sempre 60°.

 

E allora... per costruire il triangolo equilatero con GeoGebra questa è la procedura seguita e gli strumenti utilizzati:

Creiamo un primo punto 1 / 12

Dopo aver selezionato lo strumento "Nuovo punto", facciamo click su una zona della "Vista Grafica" per creare il nuovo punto, le cui coordinate verranno fissate nel momento in cui viene rilasciato il tasto del mouse.

Creiamo un secondo punto 2 / 12

Lo strumento "Nuovo punto" è ancora selezionato quindi per creare il secondo punto facciamo click su un'altra zona della "Vista Grafica". La distanza tra il primo ed il secondo punto sarà la lunghezza del lato l del nostro triangolo equilatero.

Disegniamo un segmento passante tra due punti 3 / 12

Scegliamo lo strumento "Segmento - tra due punti" ed andiamo a selezionare i due punti appena creati. In pratica, dopo la scelta dello strumento non ci rimane che fare click prima su un punto e poi sull'altro.

Costruiamo una prima circonferenza con centro dato e passante per un punto 4 / 12

Per poter disegnare la circonferenza utilizziamo lo strumento "Circonferenza - dati il centro ed un punto" che quindi andiamo a selezionare. Come prima operazione dobbiamo fare click sul punto che vogliamo sia il centro della nostra circonferenza, ad esempio il punto B, e subito dopo facciamo click sul punto A che sarà il punto per cui vogliamo far passare la nostra circonferenza.

Costruiamo una seconda circonferenza sempre con centro dato e passante per un punto 5 / 12

Facendo attenzione che lo strumento "Circonferenza - dati il centro ed un punto" sia ancora selezionato, andiamo a ripetere l'operazione precedente, ma questa volta invertendo l'ordine dei punti. In pratica dobbiamo fare click sul punto che vogliamo sia il centro della nostra circonferenza, che questa volta sarà il punto A, e subito dopo facciamo click sul punto B che sarà il punto per cui vogliamo far passare la nostra circonferenza.

Andiamo a rilevare uno dei punti di intersezione tra le due circonferenze 6 / 12

Le due circonferenze appena create vengono ad intersecarsi in due punti. Noi dobbiamo rilevare il punto di intersezione superiore. Per farlo andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione superiore tra le due circonferenze. Verrà così automaticamente creato un nuovo punto C che altro non è che il terzo vertice mancante al nostro triangolo equilatero.

Disegniamo i due lati mancanti del triangolo equilatero 7 / 12 8 / 12

Ottenuto anche i terzo vertice non ci rimane che disegnare i due lati mancanti e per farlo selezioniamo nuovamente lo strumento "Segmento - tra due punti". Si tratta di ripetere l'operazione che abbiamo già svolto nella fase 3/12. Questa volta andremo a disegnare il secondo lato del triangolo equilatero tracciando un segmento tra i punti A e C ed il terzo lato unendo i punti B e C. Il triangolo equilatero è stato costruito!

Verifichiamo le ampiezze degli angoli interni del triangolo equilatero 9 / 12 10 / 12 11 / 12

Quello appena costruito è un triangolo equilatero, sappiamo quindi che i tre angoli interni devono essere uguali e devono avere un'ampiezza di 60°. Facciamo quindi una verifica utilizzando lo strumento "Angolo" che GeoGebra ci mette a disposizione. Selezioniamo lo strumento di misurazione degli angoli e cominciamo. Per misurare l'angolo in A facciamo click prima sul segmento AB e successivamente sul segmento AC. A questo punto non ci rimane che ripetere l'operazione altre 2 volte, una per l'angolo in B ed un'altra per l'angolo in C. Se tutto è andato bene dovremmo avere i tre angoli interni tutti uguali a 60°. Nel caso in cui l'angolo evidenziato non dovesse essere quello interno bensì quello esterno, niente paura, sarà sufficiente fare click con il tasto destro del mouse sopra l'evidenziazione dell'angolo. Comparirà un menù con varie voci. Fate click su "Proprietà", poi andate sulla scheda "Fondamentali" e alla voce "Consenti angolo concavo" togliete la spunta ed infine fate click sul pulsante "Chiudi". In questo modo la porzione di angolo presa in considerazione dovrebbe essere sempre quella interna.

Coloriamo internamente il triangolo equilatero 12 / 12

Per evidenziare meglio il triangolo equilatero possiamo dargli un colore interno. In pratica andremo a costruirci sopra un nuovo poligono utilizzando i tre vertici (A B e C). Lo strumento da utilizzare è "Poligono". Ci verrà richiesto di selezionare tutti i vertici ed infine fare click sul vertice di inizio. E via allora, clicchiamo sui punti con questo ordine: A, B, C e poi nuovamente su A.

 

Come visualizzare le misure dei lati?

Menù proprietà tasto destro di GeoGebra Scheda delle proprietà fondamentali di GeoGebra Ogni oggetto geometrico ha le sue specifiche proprietà. Facendo click con il tasto destro del mouse sull'oggetto geometrico sarà possibile visualizzare un menù contestuale con il quale interagire per modificare alcuni settaggi. E' molto importante verificare la prima voce del menù (immagine a sinistra, freccia rossa) che deve corrispondere all'oggetto interessato. Nel nostro caso vogliamo visualizzare la misura dei lati quindi clicchiamo su un lato con il tasto destro del mouse per aprire il menu, successivamente scegliamo la voce "Proprietà" del menù e nella maschera che comparirà scegliamo la scheda "Fondamentali", andiamo a spuntare la voce "Mostra etichetta" ed immediatamente al fianco, nel menù a tendina, sostituiamo la voce "Nome" con la voce "Valore". Per salvare il tutto facciamo click sul pulsante "Chiudi". L'operazione andrà effettuata su tutti e tre i lati. Naturalmente per ogni oggetto di GeoGebra è possibile visualizzare la sua etichetta e/o il suo valore numerico.

 

Dopo questo tutorial dovreste essere in grado di costruire da soli il vostro triangolo equilatero.
Che ne dite di provarci?
Potreste provare prima il procedimento spiegato con GeoGebra e poi anche quello illustrato all'inizio del tutorial. Vi lascio un applet vuoto di GeoGebra con tutti i comandi abilitati.

Abbiamo visto come costruire e/o disegnare un triangolo equilatero, ma altrettanto importante è essere in grado di applicare le formule per calcolare le sue diverse misure geometriche. Per quanto riguarda le formule per il triangolo equilatero, si può far riferimento al "Formulario per i poligoni regolari", si può utilizzare invece il risolutore poligonale per eventuali verifiche su problemi inerenti ai poligoni regolari.

In matematica, un numero poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poligono regolare. I numeri triangolari sono quindi quei numeri che possono essere disposti a raffigurare uno o più triangoli equilateri. I primi 10 numeri triangolari sono:
1; 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55
(Il numero 1 non è però raffigurabile come poligono)

Grazie al widget qui a fianco, è possibile fare tre diverse operazioni di ricerca sui numeri triangolari:

Si può verificare se un qualsiasi numero intero è triangolare
E' sufficiente inserire un qualsiasi numero intero e se questo risulta essere triangolare si aprirà una finestra con l'immagine della raffigurazione triangolare del numero stesso. L'immagine può essere salvata sul proprio PC cliccandoci sopra con il tasto destro del mouse e scegliendo dal menù la voce "Salva immagine con nome".

Si può calcolare quale sia l'N-esimo numero triangolare
Considerando che il primo numero triangolare è l'uno, con questa funzione di ricerca è possibile sapere, quale sia (ad esempio) il ventesimo numero triangolare. In pratica si tratta di voler sapere a quale numero triangolare corrisponde una certa posizione "ordinale" nella serie dei numeri triangolari. Anche per questa funzione verrà visualizzata l'immagine "triangolare" del numero nella posizione cercata, immagine salvabile sul PC con lo stesso procedimento sopra descritto.

Si possono trovare tutti i numeri triangolari compresi in un intervallo di numeri interi
Anche questa funzione di ricerca è molto semplice, è sufficiente inserire nel primo campo il numero da cui si vuol partire e nel secondo il limite a cui si vuole arrivare. Al click del pulsante "Calcola" si aprirà una finestra contenete l'elenco dei numeri triangolari cercati. E' possibile salvare l'elenco su un file di testo semplicemente selezionando tutti i numeri e cliccandoci sopra con il tasto destro del mouse. Non rimane che scegliere dal menù la voce "Copia" ed incollare l'elenco memorizzato su un qualsiasi file di testo (es: TXT, DOC...)