Quadrato

Costruzione e proprietà del quadrato

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Quadrato: costruzione, proprietà e curiosità
Immagine da Wikipedia
Il quadrato appartiene alla "famiglia geometrica" dei  quadrilateri ma è l'unico a classificarsi come quadrilatero regolare. È un caso particolare di rombo (ha i quattro lati uguali, ma anche le due diagonali sono tra loro uguali, diversamente dal rombo) e di rettangolo (ha quattro angoli uguali) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli). Essendo i suoi lati ed i suoi angoli tutti uguali, lo si classifica anche (e soprattutto) come poligono regolare.
Nella geometria piana (geometria euclidea), i poligoni regolari si contraddistiguono dalle altre figure piane e chiuse, per due proprietà fondamentali:
- hanno tutti i lati congruenti (lunghezza uguale)
- hanno tutti gli angoli interni ed esterni tra loro congruenti (ampiezza uguale)

Bene, come abbiamo visto, il quadrato è sicuramente un poligono regolare molto "particolare". Ha gli angoli tutti uguali e pari a 90°, caso che lo rende l'unico poligono regolare "retto". Che sia una figura geometrica "speciale" a questo punto non ci sono più dubbi.

E per finire in bellezza, il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati. Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria, di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato stesso, ma non solo, lo stesso punto identifica contemporaneamente l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro di questa figura perfettamente regolare; la sua perfezione è seconda solo al cerchio (ma questa è una mia opinione... non ne tenete conto).

L'intento di questo tutorial per la costruzione di un quadrato non è solo quello di spiegare come disegnare su carta con l'esclusivo ausilio di riga e compasso, ma anche quello di prendere un po' di dimestichezza con un software didatticamente molto utile come GeoGebra, un software open source per l'apprendimento e l'insegnamento della matematica.
Si vuole quindi approfittare delle spiegazioni sulle costruzioni dei poligoni regolari con riga e compasso per presentare anche gli strumenti, gli oggetti e le funzioni di base di GeoGebra.

 

Costruzione con riga e compasso

Quadrato fase 1: Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza

Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza

Tracciamo una retta qualsiasi, se riusciamo, "abbastanza" orizzontale. Orizzontale perchè così la base del nostro quadrato risulterà, anche lei, "abbastanza" orizzontale.
Il nostro obbiettivo è costruire un quadrato e non è fondamentale che la sua base risulti perfettamente orizzontale.
Si comincia puntando il nostro compasso su di un punto qualsiasi O appartenente alla retta e con una apertura di compasso a piacere si disegna una circonferenza.

Quadrato fase 2: Si passa poi a tracciare un arco

Si passa poi a tracciare un arco

Dall'intersezione tra la retta e la circonferenza otteniamo un punto P1.
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto P1 con un'apertura pari al segmento P1O.

Quadrato fase 3: Tracciamo un primo segmento

Ottenuti due nuovi punti tracciamo un primo segmento

Dall'intersezione tra l'arco e la circonferenza otteniamo i punti P2 e P3.
Uniamo i due punti con un segmento.

Quadrato fase 4: Tracciamo un secondo arco più piccolo

Ottenuto un nuovo punto tracciamo un secondo arco più piccolo

Dall'intersezione tra il segmento appena tracciato e la retta che avevamo in origine otteniamo il punto P4
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto P4 con un'apertura pari al segmento P4O.

Quadrato fase 5: Tracciamo una nuova retta

Ottenuto un nuovo punto tracciamo una nuova retta

Dall'intersezione superiore tra l'arco appena tracciato ed il segmento P2P3 abbiamo ottenuto il nuovo punto P5
Tracciamo ora una nuova retta passante per i punti O e P5. Non importa la lunghezza della retta, l'importante è che intersechi la circonferenza originaria in due punti.

Quadrato fase 6: Tracciamo una ulteriore retta

Ottenuto un nuovo punto tracciamo una ulteriore retta

Il procedimento è identico a quello della fase 5.
Dall'intersezione, questa volta inferiore, tra l'arco piccolo ed il segmento P2P3 abbiamo ottenuto il nuovo punto P6
Tracciamo quindi una ulteriore retta passante ora per i punti O e P6. Anche in questa fase non importa la lunghezza della retta, l'importante è che intersechi la circonferenza originaria in altri due punti.

Quadrato fase 7: Abbiamo ottenuto i vertici del quadrato

Abbiamo ottenuto i vertici del quadrato

Con la fase 6 e 7, abbiamo tracciato due rette che andavano ad intersecarsi con la circonferenza originaria in quattro punti diversi. Questi quattro punti non sono altro che i vertici A B C D del quadrato che stiamo costruendo. Le rette tracciate sono infatti tra loro perpendicolari, dividono la circonferenza in quattro parti uguali e "contengono" proprio le diagonali del nostro quadrato.

Quadrato fase 8: Disegnamo i lati del quadrato

Disegnamo i lati del quadrato

Non ci rimane che prendere il righello e disegnare i quattro lati del quadrato unendo i suoi quattro vertici A B C D in modo da completare la procedura di costruzione.

Abbiamo quindi visto come costruire un quadrato inscritto in una circonferenza, ma se dovessimo avere la necessità di costruire il quadrato impostando una lunghezza ben precisa del lato l, avremmo due modi per procedere:

  1. Utilizziamo la procedura di costruzione sopra descritta stando attenti però ad impostare un'apertura di compasso (raggio della circonferenza circoscritta) tale che alla fine risulti un quadrato con la misura del lato l che desideriamo.
    Sapendo che tra il lato l di un quadrato ed il raggio r della sua circonferenza circoscritta esiste un rapporto di proporzione definito, per conoscere l'ampiezza dell'apertura del compasso r, sarà sufficiente dividere la lunghezza l per 1,414, che poi non è altro che il valore approssimato della radice quadrata di 2 (vedere tabella del formulario poligoni regolari).
    In pratica r = l/1,414.
    Facendo qualche esempio concreto:
    per l=6 --> r sarà uguale a 6/1,414 = 4,243
    per l=17 --> r sarà uguale a 17/1,414 = 12,023
  2. Possiamo anche utilizzare una procedura di costruzione diversa che però non tenga conto di una circonferenza iniziale, ma che ci permetta di partire impostando sin da subito la lunghezza del lato l del quadrato che vogliamo costruire. Per spiegare questo nuovo tipo di costruzione del quadrato ci serviremo di GeoGebra.

 

Costruzione con GeoGebra

Come si può notare, l'applet dispone di una barra di scorrimento delle diverse fasi di costruzione. Per visualizzare cronologicamente le varie fasi della costruzione del quadrato, è sufficiente azzerare tutte le operazioni cliccando sul primo pulsante |<< della barra di scorrimento, successivamente si possono visualizzare tutte le singole azioni cliccando di volta in volta sul terzo pulsante >>.
È possibile modificare il quadrato interagendo con l'applet, ovvero muovendo i due punti A e B; in questo modo possiamo notare come le misure dei lati tra di loro rimangono sempre uguali, mentre le ampiezze degli angoli misurano sempre 90°.

Java non risulta essere installato.

GeoGebra ha bisogno di Java per funzionare.
Clicca qui per scaricare e installare Java

 

E allora... per costruire il quadrato con GeoGebra questa è la procedura seguita e gli strumenti utilizzati:

Creiamo un primo punto 1 / 12

Dopo aver selezionato lo strumento "Nuovo punto", facciamo click su una zona della "Vista Grafica" per creare il nuovo punto, le cui coordinate verranno fissate nel momento in cui viene rilasciato il tasto del mouse.

Creiamo un secondo punto 2 / 12

Lo strumento "Nuovo punto" è ancora selezionato quindi per creare il secondo punto facciamo click su un'altra zona della "Vista Grafica". La distanza tra il primo ed il secondo punto sarà la lunghezza del lato l del nostro quadrato.

Disegniamo un segmento passante tra due punti 3 / 12

Scegliamo lo strumento "Segmento - tra due punti" ed andiamo a selezionare i due punti appena creati. In pratica, dopo la scelta dello strumento non ci rimane che fare click prima su un punto e poi sull'altro.

Tracciamo una retta perpendicolare al lato 4 / 12

Scegliamo lo strumento "Retta perpendicolare" che quindi andiamo a selezionare. Come prima operazione dobbiamo fare click sul punto da cui vogliamo passi la perpendicolare, nel nostro caso il punto B, e subito dopo facciamo click sul lato, quindi sul segmento AB.

Costruiamo una circonferenza con centro dato e passante per un punto 5 / 12

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il nostro centro sarà il punto B ed il punto per cui dovrà passare la circonferenza sarà il punto A. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto B e poi sul punto A.

Andiamo a rilevare uno dei punti di intersezione tra la circonferenza e la perpendicolare 6 / 12

La circonferenza appena creata va ad intersecarsi in due punti con la retta perpendicolare al lato. Noi dobbiamo rilevare il punto di intersezione superiore. Per farlo andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione superiore tra la circonferenza e la retta perpendicolare. Verrà così automaticamente creato un nuovo punto C che altro non è che il terzo vertice mancante al nostro quadrato.

Tracciamo una retta parallela al lato 7 / 12

Scegliamo lo strumento "Retta parallela" che quindi andiamo a selezionare. Dobbiamo tracciare una retta parallela al lato (segmento AB) che però passi per il punto C che abbiamo rilevato nella fase precendente. Il procedimento è semplice: una volta selezionato lo strumento corretto clicchiamo prima sul punto C e successivamente sul segmento AB.

Costruiamo una seconda circonferenza con centro dato e passante per un punto 8 / 12

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il nostro centro sarà il punto C ed il punto per cui dovrà passare la circonferenza sarà il punto B. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto C e poi sul punto B.

Andiamo a rilevare uno dei punti di intersezione tra l'ultima circonferenza e la parallela 9 / 12

L'ultima circonferenza creata va ad intersecarsi in due punti con la retta parallela al lato. Noi dobbiamo rilevare il punto di intersezione verso sinistra. Per farlo andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione verso sinistra tra l'ultima circonferenza creata e la retta parallela. Verrà così automaticamente creato un nuovo punto D che altro non è che l'ultimo vertice mancante al nostro quadrato.

Disegniamo i lati del quadrato 10 / 12

Ora abbiamo tutti i vertici del nostro quadrato, non ci rimane che disegnare i lati mancanti. Scegliamo quindi lo strumento "Segmento - tra due punti" e ripetiamo la stessa metodologia spiegata nella fase 3/11 per tre volte, una per ogni lato. A questo punto il quadrato è stato costruito.

Verifichiamo ampiezze degli angoli e misure dei lati 11 / 12

Quello appena costruito è un quadrato, sappiamo quindi che i quattro angoli interni devono essere uguali e devono avere un'ampiezza di 90°. Facciamo quindi una verifica utilizzando lo strumento "Angolo" che GeoGebra ci mette a disposizione. Selezioniamo lo strumento di misurazione degli angoli e cominciamo. Per misurare l'angolo in A facciamo click prima sul segmento AB e successivamente sul segmento AD. A questo punto non ci rimane che ripetere l'operazione altre 3 volte, una per ogn i angolo del quadrato. Se tutto è andato bene dovremmo avere i quattro angoli interni tutti uguali a 90°. Nel caso in cui l'angolo evidenziato non dovesse essere quello interno bensì quello esterno, niente paura, come risolvere il problema è stato già spiegato nell'ultima fase della costruzione del triangolo equilatero.

Coloriamo internamente il quadrato 12 / 12

Per evidenziare meglio il quadrato possiamo dargli un colore interno. In pratica andremo a costruirci sopra un nuovo poligono utilizzando i quattro vertici (A B C e D). Lo strumento da utilizzare è "Poligono". Ci verrà richiesto di selezionare tutti i vertici ed infine di fare click sul vertice di inizio. E via allora, clicchiamo sui punti con questo ordine: A, B, C, D e poi nuovamente su A.

 

Come cambiare il colore dei lati?

Menù proprietà tasto destro di GeoGebra Scheda della proprietà Colore di GeoGebra Ogni oggetto geometrico ha le sue specifiche proprietà. Facendo click con il tasto destro del mouse sull'oggetto geometrico sarà possibile visualizzare un menù contestuale con il quale interagire per modificare alcuni settaggi. E' molto importante verificare la prima voce del menù (immagine a sinistra, freccia rossa) che deve corrispondere all'oggetto interessato. Nel nostro caso vogliamo cambiare il colore dei lati quindi clicchiamo su un lato con il tasto destro del mouse per aprire il menu, successivamente scegliamo la voce "Proprietà" del menù e nella maschera che comparirà scegliamo la scheda "Colore". Selezioniamo uno dei colori disponibili o eventualmente ne creiamo di nuovi. Un’anteprima ci farà visualizzare il colore scelto e tramite lo slider in fondo possiamo settare anche l’opacità del colore. Naturalmente per ogni oggetto di GeoGebra è possibile scegliere il colore che desideriamo.

 

Dopo questo tutorial dovreste essere in grado di costruire da soli il vostro quadrato.
Che ne dite di provarci?
Potreste provare prima il procedimento spiegato con GeoGebra e poi anche quello illustrato all'inizio del tutorial. Vi lascio un applet vuoto di GeoGebra con tutti i comandi abilitati.

Java non risulta essere installato.

GeoGebra ha bisogno di Java per funzionare.
Clicca qui per scaricare e installare Java

Abbiamo visto come costruire e/o disegnare un quadrato, ma altrettanto importante è essere in grado di applicare le formule per calcolare le sue diverse misure geometriche. Riguardo alle formule per il quadrato non è il caso neanche di accennarle visto che sono talmente semplici e tutti le conosciamo ma, considerando il quadrato anche un poligono regolare, per queste formule si può far riferimento al "Formulario per i poligoni regolari", si può utilizzare invece il risolutore poligonale per eventuali verifiche su problemi inerenti ai poligoni regolari.

In matematica, un numero poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poligono regolare. I numeri quadrati sono quindi quei numeri che possono essere disposti a raffigurare uno o più quadrati. I primi 10 numeri quadrati sono:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
(Il numero 1 non è però raffigurabile come poligono)

Grazie al widget qui a fianco, è possibile fare tre diverse operazioni di ricerca sui numeri quadrati:

Si può verificare se un qualsiasi numero intero è quadrato
È sufficiente inserire un qualsiasi numero intero e se questo risulta essere quadrato si aprirà una finestra con l'immagine della raffigurazione quadrata del numero stesso. L'immagine può essere salvata sul proprio PC cliccandoci sopra con il tasto destro del mouse e scegliendo dal menù la voce "Salva immagine con nome".

Si può calcolare quale sia l'N-esimo numero quadrato
Considerando che il primo numero quadrato è l'uno, con questa funzione di ricerca è possibile sapere, quale sia (ad esempio) il ventesimo numero quadrato. In pratica si tratta di voler sapere a quale numero quadrato corrisponde una certa posizione "ordinale" nella serie dei numeri quadrati. Anche per questa funzione verrà visualizzata l'immagine "quadrata" del numero nella posizione cercata, immagine salvabile sul PC con lo stesso procedimento sopra descritto.

Si possono trovare tutti i numeri quadrati compresi in un intervallo di numeri interi
Anche questa funzione di ricerca è molto semplice, è sufficiente inserire nel primo campo il numero da cui si vuol partire e nel secondo il limite a cui si vuole arrivare. Al click del pulsante "Calcola" si aprirà una finestra contenete l'elenco dei numeri quadrati cercati. È possibile salvare l'elenco su un file di testo semplicemente selezionando tutti i numeri e cliccandoci sopra con il tasto destro del mouse. Non rimane che scegliere dal menù la voce "Copia" ed incollare l'elenco memorizzato su un qualsiasi file di testo (es: TXT, DOC...)