Pentagono

Costruzione e proprietà del pentagono

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Pentagono: costruzione, proprietà e curiosità
Immagine da Wikipedia
Si è cominciato questo viaggio attraverso i poligoni regolari partendo dai più piccoli (triangolo equilatero e quadrato) che abbiamo avuto modo di constatare essere sicuramente “poligoni particolari” in quanto definibili anche in base a caratteristiche di altre famiglie di figure geometriche. Per  Il pentagono invece non ci sono assolutamente dubbi o possibili confusioni, essendo i suoi lati ed i suoi angoli tutti uguali, lo si classifica solo ed esclusivamente come poligono regolare.
Nella geometria piana (geometria euclidea), i poligoni regolari si contraddistiguono dalle altre figure piane e chiuse, per due proprietà fondamentali:
- hanno tutti i lati congruenti (lunghezza uguale)
- hanno tutti gli angoli interni ed esterni tra loro congruenti (ampiezza uguale)

Il pentagono ha gli angoli tutti uguali e pari a 108° e possiede 5 assi di simmetria che altro non sono che le sue bisettrici, mediane ed altezze tra loro perfettamente coincidenti. Un unico punto identifica quindi contemporaneamente l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro di questa figura perfettamente regolare.

Il pentagono regolare è forse la figura più "magica" della geometria classica; non solo ha notevoli proprietà matematiche (per esempio il rapporto fra lato e diagonale che coincide con la sezione aurea), ma è una delle sole tre figure (assieme a triangolo equilatero e quadrato) con cui si possono costruire i poliedri regolari (solidi platonici): tetraedro, ottaedro e icosaedro composti rispettivamente da 4, 8 e 20 triangoli equilateri; il cubo fatto con 6 quadrati ed infine il dodecaedro composto da 12 pentagoni.

Inoltre, il pentagono regolare fu una forma geometrica molto cara ai pitagorici soprattutto nella forma del pentagramma (poligono stellato: una stella a cinque punte) che viene a formarsi da un pentagono regolare capovolto, o estendendo i suoi lati, o disegnando le sue diagonali. La figura risultante contiene varie lunghezze correlate sempre alla sezione aurea, da qui la sua supposta “magia”.

L'intento di questo tutorial per la costruzione di un pentagono non è solo quello di spiegare come disegnare su carta con l'esclusivo ausilio di riga e compasso, ma anche quello di prendere un po' di dimestichezza con un software didatticamente molto utile come GeoGebra, un software open source per l'apprendimento e l'insegnamento della matematica.
Si vuole quindi approfittare delle spiegazioni sulle costruzioni dei poligoni regolari con riga e compasso per presentare anche gli strumenti, gli oggetti e le funzioni di base di GeoGebra.

 

Costruzione con riga e compasso

Pentagono fase 1: Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza

Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza

Tracciamo una retta qualsiasi, se riusciamo, "abbastanza" orizzontale. Orizzontale perchè così la base del nostro pentagono risulterà, anche lei, "abbastanza" orizzontale.
Il nostro obbiettivo è costruire un pentagono e non è fondamentale che la sua base risulti perfettamente orizzontale. Si comincia puntando il nostro compasso su di un punto qualsiasi O appartenente alla retta e con una apertura di compasso a piacere si disegna una circonferenza.

Pentagono fase 2: Si passa poi a tracciare un primo arco

Si passa poi a tracciare un primo arco

Dall'intersezione tra la retta e la circonferenza abbiamo ottenuto due punti, P1 (destra) e P2 (sinistra).
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto P1 con un'apertura pari al segmento P1P2.

Pentagono fase 3: Si passa poi a tracciare un secondo arco

Si passa poi a tracciare un secondo arco

In pratica dobbiamo ripetere l'operazione appena eseguita nella fase 2, invertendo però i punti di riferimento. Questa volta il compasso va puntato sul punto P2 e con un'apertura pari al segmento P2P1 tracciamo il secondo arco.

Pentagono fase 4: Tracciamo una retta perpendicolare a quella iniziale

Tracciamo una retta perpendicolare a quella iniziale

I due archi tracciati nelle fasi precedenti si intersecano creando due nuovi punti: P3 (in alto) e P4 (in basso).
Andiamo quindi a tracciare la perpendicolare alla retta iniziale facendola passare per i punti P3 e P4. Abbiamo così una circonferenza e due rette tra loro perpendicolari passanti entrambe per il cento O della circonferenza stessa.

Pentagono fase 5: Tracciamo un nuovo arco più piccolo

Tracciamo un nuovo arco più piccolo

Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto P1 (intersezione destra tra retta iniziale e circonferenza) con un'apertura di compasso pari al segmento P1O che, per informazione, corrisponde al raggio della circonferenza iniziale.

Pentagono fase 6: Tracciamo un segmento che divide il raggio a metà

Tracciamo un segmento che divide il raggio a metà

Dall'intersezione tra l'arco appena tracciato e la circonferenza iniziale abbiamo ottenuto due nuovi punti: P5 (in alto) e P6 (in basso).
Tracciamo ora un segmento che ha come limiti i due nuovi punti. Questo segmento andrà a divedere perfettamente a metà il raggio della nostra circonferenza (P1O)

Pentagono fase 7: Tracciamo una semicirconferenza passante per il vertice superiore del pentagono

Tracciamo una semicirconferenza passante per il vertice superiore del pentagono

Il segmento P5P6 appena tracciato, intersecandosi con la retta iniziale (orizzontale), ci permette di ottenere il nuovo punto P7. Un ulteriore punto fin qui trascurato è quello ottenibile dall'intersezione tra la perpendicolare alla retta iniziale (retta verticale) e la circonferenza. Il nuovo punto D risulterà essere uno dei vertici (quello superiore) del pentagono che stiamo costruendo. Bene, puntando ora il compasso sul punto P7, con un'apertura pari al segmento P7D, tracciamo una semicirconferenza.

Pentagono fase 8: Tracciamo un nuovo arco

Tracciamo un nuovo arco

La semicirconferenza appena tracciata, intersecondosi a sinistra con la retta iniziale (orizzontale), ci permette di rilevare il nuovo punto P8. La misura del segmento P8D è proprio la misura del lato del pentagono che vogliamo costruire. A questo punto possiamo puntare il compasso sul punto D e con apertura pari al segmento P8D tracciare un nuovo arco che andrà ad intersecarsi con la circonferenza in due nuovi punti che, guarda caso, risulteranno essere altri due vertici del nostro pentagono.

Pentagono fase 9: Un ultimo arco ed abbiamo finito

Un ultimo arco ed abbiamo finito

Potremmo ripetere due volte la fase 8 cambiando solo il punto su cui puntare il compasso ed otterremo i due vertici mancanti. Più semplicemente, con un solo arco possiamo ottenere lo stesso risultato. La semicirconferenza tracciata in precedenza, intersecondosi, questa volta a destra, con la retta iniziale (orizzontale), ci permette di rilevare il nuovo punto P9. Non ci rimane che, sempre puntando il nostro compasso sul punto D, questa volta con apertura pari al segmento P9D, tracciare un ultimo arco che intersecherà la circonferenza in due nuovi punti, che sono proprio i vertici mancanti del pentagono che stiamo costruendo.

Pentagono fase 10: Abbiamo ottenuto i vertici del pentagono

Abbiamo ottenuto i vertici del pentagono

Il primo vertice in ordine di creazione (punto D) è stato ottenuto dall'intersezione tra la circonferenza e la retta perpendicolare (fase 4), poi, grazie all'arco tracciato nella fase 8, sono arrivati anche i vertici C e E, ed infine, un nuovo arco tracciato nella fase 9 ci ha permesso di trovare gli ultimi due vertici: il punto A ed il punto B.

Pentagono fase 11: Disegnamo i lati del pentagono

Disegnamo i lati del pentagono

Non ci rimane che prendere il righello e disegnare i cinque lati del pentagono unendo i suoi cinque vertici A B C D E in modo da completare la procedura di costruzione.

Abbiamo quindi visto come costruire un pentagono inscritto in una circonferenza, ma se dovessimo avere la necessità di costruire il pentagono impostando una lunghezza ben precisa del lato l, avremmo due modi per procedere:

  1. Utilizziamo la procedura di costruzione sopra descritta stando attenti però ad impostare un'apertura di compasso (raggio della circonferenza circoscritta) tale che alla fine risulti un pentagono con la misura del lato l che desideriamo.
    Sapendo che tra il lato l di un pentagono ed il raggio r della sua circonferenza circoscritta esiste un rapporto di proporzione definito, per conoscere l'ampiezza dell'apertura del compasso r, sarà sufficiente dividere la lunghezza l per 1,176 (vedere tabella del formulario poligoni regolari).
    In pratica r = l/1,176.
    Facendo qualche esempio concreto:
    per l=6 --> r sarà uguale a 6/1,176 = 5,102
    per l=17 --> r sarà uguale a 17/1,176 = 14,456
  2. Possiamo anche utilizzare una procedura di costruzione diversa che però non tenga conto di una circonferenza iniziale, ma che ci permetta di partire impostando sin da subito la lunghezza del lato l del pentagono che vogliamo costruire. Per spiegare questo nuovo tipo di costruzione del pentagono ci serviremo di GeoGebra.

 

Costruzione con GeoGebra

Come si può notare, l'applet dispone di una barra di scorrimento delle diverse fasi di costruzione. Per visualizzare cronologicamente le varie fasi della costruzione del pentagono, è sufficiente azzerare tutte le operazioni cliccando sul primo pulsante |<< della barra di scorrimento, successivamente si possono visualizzare tutte le singole azioni cliccando di volta in volta sul terzo pulsante >>.
È possibile modificare il pentagono interagendo con l'applet, ovvero muovendo i due punti A e B; in questo modo possiamo notare come le misure dei lati tra di loro rimangono sempre uguali, mentre le ampiezze degli angoli misurano sempre 108° (test di trascinamento).

La costruzione che segue è composta da 20 fasi alcune dei quali si potrebbero "saltare" nel momento in cui la costruzione da eseguire non dovesse seguire le ferree regole della "riga e compasso di Euclide". Ma noi siamo qui innanzitutto per imparare i procedimenti corretti; a semplificare e quindi a ridurre il numero di passi da svolgere sarete voi stessi nel momento in cui diventerete consapevoli e padroni delle regole e tecniche di costruzione geometrica. Per correttezza va detto che la costruzione che vedremo con GeoGebra non è del tutto rispettosa delle regole sopra citate. Viene usato lo strumento perpendicolare che incorpora le procedure corrette ma non le traccia sulla Vista grafica. Si è scelto di utilizzarlo per non appesantire ulteriormente la costruzione già di per sè laboriosa. La costruzione corretta con il solo ausilio di riga e compasso rimane quella spiegata all'inizio tramite le slide.

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E allora... per costruire il pentagono con GeoGebra questa è la procedura seguita e gli strumenti utilizzati:

Creiamo un primo punto 1 / 20

Dopo aver selezionato lo strumento "Nuovo punto", facciamo click su una zona della "Vista Grafica" per creare il nuovo punto, le cui coordinate verranno fissate nel momento in cui viene rilasciato il tasto del mouse.

Creiamo un secondo punto 2 / 20

Lo strumento "Nuovo punto" è ancora selezionato quindi per creare il secondo punto facciamo click su un'altra zona della "Vista Grafica". La distanza tra il primo ed il secondo punto sarà la lunghezza del lato l del nostro pentagono.

Disegniamo un segmento passante tra due punti 3 / 20

Scegliamo lo strumento "Segmento - tra due punti" ed andiamo a selezionare i due punti appena creati. In pratica, dopo la scelta dello strumento non ci rimane che fare click prima su un punto e poi sull'altro.

Costruiamo due circonferenze 4 / 20

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il centro per la prima circonferenza sarà il punto A ed il punto per cui dovrà passare sarà il punto B. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto A e poi sul punto B. Ripetiamo le operazioni descritte per costruire anche la seconda circonferenza (in verde). Questa volta il centro sarà il punto B ed il punto per cui dovrà passare la seconda circonferenza sarà il punto A

Andiamo a rilevare due punti di intersezione 5 / 20

Le circonferenze appena create vanno ad intersecarsi in due punti. Noi dobbiamo rilevare il punto di intersezione superiore. Per farlo andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione superiore tra le due circonferenze. Verrà così automaticamente creato un nuovo punto P1. Per rilevare il secondo punto di intersezione (quello inferiore) facciamo click sull'intersezione ed otteniamo il nuovo punto P2.

Disegniamo una semiretta passante per due punti 6 / 20

Scegliamo lo strumento "Semiretta - per due punti" ed andiamo a selezionare i due punti appena creati. Dopo la scelta dello strumento non ci rimane che fare click prima sul punto P2 e poi sul punto P1. Cliccando seguendo l'ordine indicato, la semiretta "eccederà"" verso il punto P1. In pratica abbiamo appena tracciato l'asse del segmento.

Prolunghiamo il segmento verso destra 7 / 20

Lo strumento "Semiretta - per due punti" dovrebbe essere ancora selezionato; lo usiamo per prolungare il segmento verso destra. Facciamo click prima sul punto A e poi sul punto B. Cliccando seguendo l'ordine indicato, la semiretta "eccederà"" verso il punto B e quindi verso destra.

Tracciamo una retta perpendicolare al lato 8 / 20

Scegliamo lo strumento "Retta perpendicolare" che quindi andiamo a selezionare. Come prima operazione dobbiamo fare click sul punto da cui vogliamo passi la perpendicolare, nel nostro caso il punto B, e subito dopo facciamo click sul lato, quindi sul segmento AB.

Andiamo a rilevare il punto medio del lato 9 / 20

La semiretta (asse) che abbiamo tracciato nella fase 6, va ad intersecarsi con il lato (segmento AB) in un punto che noi dobbiamo rilevare. Per farlo andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione. Verrà così automaticamente creato un nuovo punto M che altro non è che il punto medio del nostro lato. Visto che ci siamo, rileviamo anche un ulteriore intersezione, il punto P dato dall'intersezione tra la circonferenza con centro in B e raggio AB (in verde) e la perpendicolare che abbiamo tracciato nella fase 8.

Costruiamo una circonferenza con centro nel punto medio 10 / 20

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il nostro centro sarà il punto medio M ed il punto per cui dovrà passare la circonferenza sarà il punto P. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto M e poi sul punto P. Per comodità nel prosieguo della spiegazione, il raggio di questa circonferenza (MP) lo abbiamo evidenziato ed etichettato come r1

Andiamo a rilevare un ulteriore punto di intersezione 11 / 20

La circonferenza appena creata va ad intersecarsi con la semiretta che abbiamo tracciato nella fase 7 per prolungare verso destra il lato. Per rilevare il nuovo punto andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione tra la circonferenza e la semiretta. Verrà così creato un nuovo punto P3.

Costruiamo una nuova circonferenza 12 / 20

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il nostro centro sarà il punto A ed il punto per cui dovrà passare la circonferenza sarà il punto P3. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto A e poi sul punto P3.

Ricaviamo il terzo vertice del pentagono 13 / 20

La circonferenza appena creata (il cui raggio è stato etichettato con r2) va ad intersecarsi con la circonferenza in verde di raggio AB in due punti. A noi interessa ricavare il punto di intersezione superiore. Per rilevare il nuovo punto andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione superiore tra le due circonferenze. Verrà così creato un nuovo punto C, che altro non è che il terzo vertice del pentagono che stiamo costruendo.

Prolunghiamo il lato del pentagono verso sinistra 14 / 20

Scegliamo lo strumento "Semiretta - per due punti" e lo usiamo per prolungare il lato del pentagono verso sinistra. Facciamo click prima sul punto B e poi sul punto A. Cliccando seguendo l'ordine indicato, la semiretta "eccederà"" verso il punto A e quindi verso sinistra.

Andiamo a rilevare un ulteriore punto di intersezione 15 / 20

La semiretta appena tracciata va ad intersecarsi con la circonferenza con centro M e raggio r1. Per rilevare il nuovo punto andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione tra la circonferenza e la semiretta. Verrà così creato un nuovo punto P4.

Costruiamo una nuova circonferenza 16 / 20

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il nostro centro sarà il punto B ed il punto per cui dovrà passare la circonferenza sarà il punto P4. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto B e poi sul punto P4.

Ricaviamo quarto e quinto vertice del pentagono 17 / 20

La circonferenza appena creata (il cui raggio è stato etichettato con r3) va ad intersecarsi con la circonferenza con centro in A e di raggio AB in due punti. A noi interessa ricavare il punto di intersezione superiore. Per rilevare il nuovo punto andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione superiore tra le due circonferenze. Verrà così creato un nuovo punto E, che altro non è che il quarto vertice del pentagono che stiamo costruendo. Ma non è tutto, le due circonferenze, quella con raggio r2 e quella con raggio r3, si intersecano in due punti. La loro intersezione superiore sarà il quinto e quindi ultimo vertice del poligono che stiamo costruendo. Clicchiamo in prossimità di questa intersezione ed otterremo il punto D.

Disegniamo i lati del pentagono 18 / 20

Ora abbiamo tutti i vertici del nostro pentagono, non ci rimane che disegnare i lati mancanti. Scegliamo quindi lo strumento "Segmento - tra due punti" e ripetiamo la stessa metodologia spiegata nella fase 3 per quattro volte, una per ogni lato. A questo punto il pentagono è stato costruito.

Verifichiamo ampiezze degli angoli e misure dei lati 19 / 20

Quello appena costruito è un pentagono, sappiamo quindi che i cinque angoli interni devono essere uguali e devono avere un'ampiezza di 108°. Facciamo quindi una verifica utilizzando lo strumento "Angolo" che GeoGebra ci mette a disposizione. Selezioniamo lo strumento di misurazione degli angoli e cominciamo. Per misurare l'angolo in A facciamo click prima sul segmento AB e successivamente sul segmento AE. A questo punto non ci rimane che ripetere l'operazione altre 4 volte, una per ogni angolo del pentagono. Possiamo fare il test di trascinamento interagendo con i punti A e B per verificare che gli angoli ed i lati siano sempre tra loro uguali.

Coloriamo internamente il pentagono 20 / 20

Per evidenziare meglio il pentagono possiamo dargli un colore interno. In pratica andremo a costruirci sopra un nuovo poligono utilizzando i cinque vertici (A B C D e E). Lo strumento da utilizzare è "Poligono". Ci verrà richiesto di selezionare tutti i vertici ed infine di fare click sul vertice di inizio. E via allora, clicchiamo sui punti con questo ordine: A, B, C, D, E e poi nuovamente su A.

 

Come nascondere un oggetto geometrico?

Menù proprietà tasto destro di GeoGebra Ogni oggetto geometrico ha le sue specifiche proprietà. Facendo click con il tasto destro del mouse sull'oggetto geometrico sarà possibile visualizzare un menù contestuale con il quale interagire per modificare alcuni settaggi. È molto importante verificare la prima voce del menù (immagine a sinistra, freccia rossa) che deve corrispondere all'oggetto interessato. Nel nostro caso vogliamo poter nascondere un oggetto geometrico che magari ci è servito solo per poter costruire un altro oggetto che invece vogliamo rimanga visibile. Per GeoGebra ogni oggetto può essere “acceso” o “spento”, ovvero, visibile o non visibile. E’ molto semplice: clicchiamo sull’oggetto interessato con il tasto destro del mouse per aprire il menu delle proprietà (immagine a sinistra). La seconda voce del menu, “Mostra oggetto”, corrisponde ad una sorta di interruttore tramite il quale è possibile rendere visibile o non visibile l’oggetto. Cliccando sull’interruttore si accende o spegne l’oggetto. L’oggetto spento non viene cancellato ma solo reso non visibile. Esistono altri metodi per fare la stessa cosa, ma quando si tratta di un singolo oggetto, questo descritto è sicuramente il più veloce. Quando invece si vuole gestire la visibilità di un gruppo di più di oggetti GeoGebra mette a disposizione lo strumento “Casella di controllo per nascondere/mostrare oggetti”. Nella costruzione del pentagono è stato usato (casella Visualizza costruzioni) in quanto molto comodo per nascondere con un semplice click tutti gli oggetti di costruzione e lasciare così più “pulita” la visione degli oggetti realmente importanti. Tornate sull’applet e provate a cliccarci sopra: un esempio concreto può essere meglio di mille spiegazioni.

 

Dopo questo tutorial dovreste essere in grado di costruire da soli il vostro pentagono.
Che ne dite di provarci?
Potreste provare prima il procedimento spiegato con GeoGebra e poi anche quello illustrato all'inizio del tutorial. Vi lascio un applet vuoto di GeoGebra con tutti i comandi abilitati.

Java non risulta essere installato.

GeoGebra ha bisogno di Java per funzionare.
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Abbiamo visto come costruire e/o disegnare un pentagono, ma altrettanto importante è essere in grado di applicare le formule per calcolare le sue diverse misure geometriche. Riguardo alle formule per il pentagono regolare si può far riferimento al "Formulario per i poligoni regolari", si può utilizzare invece il risolutore poligonale per eventuali verifiche su problemi inerenti ai poligoni regolari.

In matematica, un numero poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poligono regolare. I numeri pentagonali sono quindi quei numeri che possono essere disposti a raffigurare uno o più pentagoni. I primi 10 numeri pentagonali sono:
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145
(Il numero 1 non è però raffigurabile come poligono)

Grazie al widget qui a fianco, è possibile fare tre diverse operazioni di ricerca sui numeri pentagonali:

Si può verificare se un qualsiasi numero intero è pentagonale
È sufficiente inserire un qualsiasi numero intero e se questo risulta essere pentagonale si aprirà una finestra con l'immagine della raffigurazione pentagonale del numero stesso. L'immagine può essere salvata sul proprio PC cliccandoci sopra con il tasto destro del mouse e scegliendo dal menù la voce "Salva immagine con nome".

Si può calcolare quale sia l'N-esimo numero pentagonale
Considerando che il primo numero pentagonale è l'uno, con questa funzione di ricerca è possibile sapere, quale sia (ad esempio) il ventesimo numero pentagonale. In pratica si tratta di voler sapere a quale numero pentagonale corrisponde una certa posizione "ordinale" nella serie dei numeri pentagonali. Anche per questa funzione verrà visualizzata l'immagine "pentagonale" del numero nella posizione cercata, immagine salvabile sul PC con lo stesso procedimento sopra descritto.

Si possono trovare tutti i numeri pentagonali compresi in un intervallo di numeri interi
Anche questa funzione di ricerca è molto semplice, è sufficiente inserire nel primo campo il numero da cui si vuol partire e nel secondo il limite a cui si vuole arrivare. Al click del pulsante "Calcola" si aprirà una finestra contenete l'elenco dei numeri pentagonali cercati. È possibile salvare l'elenco su un file di testo semplicemente selezionando tutti i numeri e cliccandoci sopra con il tasto destro del mouse. Non rimane che scegliere dal menù la voce "Copia" ed incollare l'elenco memorizzato su un qualsiasi file di testo (es: TXT, DOC...)