Ottagono

Costruzione e proprietà dell'ottagono

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Ottagono: costruzione, proprietà e curiosità
Immagine da Wikipedia

Per quanto ci si possa sforzare, trovare particolarità di rilievo all’ottagono rispetto agli altri poligoni regolari, non risulta impresa semplice. Sembrerebbe un poligono alquanto anonimo e probabilmente lo è, ma osservandolo da punti di vista diversi, forse qualcosa riusciamo a trovare.

Intanto possiamo approfittare di questa apparente carenza di particolari proprietà per “ampliare” quelle che abbiamo sino ad ora considerato le proprietà fondamentali dei poligoni regolari. Abbiamo scritto più volte che nella geometria piana (geometria euclidea), questo tipo di figure si contraddistinguono dal resto delle figure piane e chiuse per due proprietà fondamentali:
- hanno tutti i lati congruenti (lunghezza uguale)
- hanno tutti gli angoli interni ed esterni tra loro congruenti (ampiezza uguale)
Bene, è ora di aggiungere una terza proprietà:
- sono sempre poligoni convessi

Quindi, la corretta definizione di poligoni regolari potrebbe essere questa:
un poligono regolare è un poligono convesso che è contemporaneamente equilatero e equiangolo. Si tratta cioè di una porzione convessa di piano euclideo delimitato da una spezzata (poligonale) chiusa, formata da una successione di segmenti di uguale lunghezza (lati), che formano tra loro angoli di uguale ampiezza.

L’ottagono ha gli angoli tutti uguali e pari a 135° e possiede 8 assi di simmetria che altro non sono che le sue 4 bisettrici e le 4 mediane ed altezze tra loro perfettamente coincidenti, di conseguenza, un unico punto identifica contemporaneamente l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro di questa figura perfettamente regolare.

 

Da un punto di vista puramente algebrico, l’ottagono risulta avere una particolare affinità con il numero 2 ed in particolare con la sua radice quadrata. Ecco alcune sue formule che lo testimoniano:

l = r c 2 - 2
dove l è il lato dell’ottagono e rc è il raggio della circonferenza circoscritta.
l 4 = r c 2
dove l4 è il lato del quadrato inscritto nell’ottagono
a = r c 2 2 + 2
dove a è l’apotema dell’ottagono
A = 2 r c 2 2
dove A è l’area dell’ottagono
Tracciamento asse del lato del quadrato

 

Parlando invece di costruzione geometrica, come l’esagono risulta “derivabile” dal  triangolo equilatero, anche l’ottagono si può costruire partendo da un altro poligono, il quadrato, e questo è possibile utilizzando la semplice tecnica del tracciamento degli assi dei lati del quadrato. Gli assi, incontrando la circonferenza circoscritta, dividono a metà gli archi sottesi dai quattro lati del quadrato in modo da ottenere altri quattro punti di intersezione e di conseguenza gli otto vertici dell’ottagono (l'immagine a destra dovrebbe essere abbastanza esplicativa).

L'intento di questo tutorial per la costruzione di un ottagono non è solo quello di spiegare come disegnare su carta con l'esclusivo ausilio di riga e compasso, ma anche quello di prendere un po' di dimestichezza con un software didatticamente molto utile come GeoGebra, un software open source per l'apprendimento e l'insegnamento della matematica.
Si vuole quindi approfittare delle spiegazioni sulle costruzioni dei poligoni regolari con riga e compasso per presentare anche gli strumenti, gli oggetti e le funzioni di base di GeoGebra.

 

Costruzione con riga e compasso

Ottagono fase 1: Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza

Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza

Tracciamo una retta qualsiasi, se riusciamo, "abbastanza" orizzontale. Si comincia puntando il nostro compasso su di un punto qualsiasi O appartenente alla retta e con una apertura di compasso a piacere si disegna una circonferenza.

Ottagono fase 2: Si passa poi a tracciare un primo arco

Si passa poi a tracciare un primo arco

Dall'intersezione (destra) tra la retta e la circonferenza abbiamo ottenuto un primo punto P1.
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto P1 con un'apertura pari al segmento P1O.

Ottagono fase 3: Tracciamo un segmento che divide il raggio a metà

Tracciamo un segmento che divide il raggio a metà

Dall'intersezione tra l'arco appena tracciato e la circonferenza iniziale abbiamo ottenuto due nuovi punti: P2 (in alto) e P3 (in basso).
Tracciamo ora un segmento che ha come limiti i due nuovi punti. Questo segmento andrà a divedere perfettamente a metà il raggio della nostra circonferenza (P1O)

Ottagono fase 4: Tracciamo un secondo arco più piccolo

Ottenuto un nuovo punto tracciamo un secondo arco più piccolo

Dall'intersezione tra il segmento appena tracciato e la retta che avevamo in origine otteniamo il punto P4
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto P4 con un'apertura pari al segmento P4O.

Ottagono fase 5: Tracciamo una nuova retta

Ottenuto un nuovo punto tracciamo una nuova retta

Dall'intersezione superiore tra l'arco appena tracciato ed il segmento P2P3 abbiamo ottenuto il nuovo punto P5
Tracciamo ora una nuova retta passante per i punti O e P5. Non importa la lunghezza della retta, l'importante è che intersechi la circonferenza originaria in due punti.

Ottagono fase 6: Tracciamo una ulteriore retta

Ottenuto un nuovo punto tracciamo una ulteriore retta

Il procedimento è identico a quello della fase 5.
Dall'intersezione, questa volta inferiore, tra l'arco piccolo ed il segmento P2P3 abbiamo ottenuto il nuovo punto P6
Tracciamo quindi una ulteriore retta passante ora per i punti O e P6. Anche in questa fase non importa la lunghezza della retta, l'importante è che intersechi la circonferenza originaria in altri due punti.

Ottagono fase 7: Otteniamo il penultimo vertice dell'ottagono

Otteniamo il penultimo vertice dell'ottagono

Alcuni vertici dell'ottagono sono già ben distinguibili come ad esempio il punto P1 che abbiamo rietichettato con la lettera C. In verità mancherebbero solo due vertici. Bene, il penultimo lo ricaviamo puntando il compasso sul punto D e con un'apertura pari al segmento DC tracciamo un arco che incontrerà la circonferenza in un nuovo punto (vertice E).

Ottagono fase 8: Otteniamo l'ultimo vertice dell'ottagono

Otteniamo l'ultimo vertice dell'ottagono

L'ultimo vertice del nostro ottagono lo ricaviamo puntando il compasso sul punto B e con un'apertura pari al segmento BC tracciamo un arco che incontrerà la circonferenza in un nuovo punto (vertice A).

Ottagono fase 9: Disegnamo i lati dell'ottagono

Disegnamo i lati dell'ottagono

Non ci rimane che prendere il righello e disegnare i lati dell'ottagono unendo i suoi otto vertici A B C D E F G H in modo da completare la procedura di costruzione dell'ottagono.

Abbiamo quindi visto come costruire un ottagono inscritto in una circonferenza, ma se dovessimo avere la necessità di costruire l'ottagono impostando una lunghezza ben precisa del lato l, avremmo due modi per procedere:

  1. Utilizziamo la procedura di costruzione sopra descritta stando attenti però ad impostare un'apertura di compasso (raggio della circonferenza circoscritta) tale che alla fine risulti un ottagono con la misura del lato l che desideriamo.
    Sapendo che tra il lato l di un ottagono ed il raggio r della sua circonferenza circoscritta esiste un rapporto di proporzione definito, per conoscere l'ampiezza dell'apertura del compasso r, sarà sufficiente dividere la lunghezza l per 0,765 (vedere tabella del formulario poligoni regolari).
    In pratica r = l/0,765.
    Facendo qualche esempio concreto:
    per l=6 --> r sarà uguale a 6/0,765 = 7,843
    per l=17 --> r sarà uguale a 17/0,765 = 22,222
  2. Possiamo anche utilizzare una procedura di costruzione diversa che però non tenga conto di una circonferenza iniziale, ma che ci permetta di partire impostando sin da subito la lunghezza del lato l dell'ottagono che vogliamo costruire. Per spiegare questo nuovo tipo di costruzione dell'ottagono ci serviremo di GeoGebra.

 

Costruzione con GeoGebra

Come si può notare, l'applet dispone di una barra di scorrimento delle diverse fasi di costruzione. Per visualizzare cronologicamente le varie fasi della costruzione dell'ottagono, è sufficiente azzerare tutte le operazioni cliccando sul primo pulsante |<< della barra di scorrimento, successivamente si possono visualizzare tutte le singole azioni cliccando di volta in volta sul terzo pulsante >>.
È possibile modificare l'ottagono interagendo con l'applet, ovvero muovendo i due punti A e B; in questo modo possiamo notare come le misure dei lati tra di loro rimangono sempre uguali, mentre le ampiezze degli angoli misurano sempre 120° (test di trascinamento).

La costruzione che segue è composta da 19 fasi alcune dei quali si potrebbero "saltare" nel momento in cui la costruzione da eseguire non dovesse seguire le ferree regole della "riga e compasso di Euclide". Ma noi siamo qui innanzitutto per imparare i procedimenti corretti; a semplificare e quindi a ridurre il numero di passi da svolgere sarete voi stessi nel momento in cui diventerete consapevoli e padroni delle regole e tecniche di costruzione geometrica.

 

E allora... per costruire l'ottagono con GeoGebra questa è la procedura seguita e gli strumenti utilizzati:

Creiamo un primo punto 1 / 19

Dopo aver selezionato lo strumento "Nuovo punto", facciamo click su una zona della "Vista Grafica" per creare il nuovo punto, le cui coordinate verranno fissate nel momento in cui viene rilasciato il tasto del mouse.

Creiamo un secondo punto 2 / 19

Lo strumento "Nuovo punto" è ancora selezionato quindi per creare il secondo punto facciamo click su un'altra zona della "Vista Grafica". La distanza tra il primo ed il secondo punto sarà la lunghezza del lato l del nostro ottagono.

Disegniamo un segmento passante tra due punti 3 / 19

Scegliamo lo strumento "Segmento - tra due punti" ed andiamo a selezionare i due punti appena creati. In pratica, dopo la scelta dello strumento non ci rimane che fare click prima su un punto e poi sull'altro.

Costruiamo due circonferenze 4 / 19

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il centro per la prima circonferenza sarà il punto A ed il punto per cui dovrà passare sarà il punto B. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto A e poi sul punto B. Ripetiamo le operazioni descritte per costruire anche la seconda circonferenza. Questa volta il centro sarà il punto B ed il punto per cui dovrà passare la seconda circonferenza sarà il punto A

Andiamo a rilevare due punti di intersezione 5 / 19

Le circonferenze appena create vanno ad intersecarsi in due punti. Noi dobbiamo rilevare il punto di intersezione superiore. Per farlo andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione superiore tra le due circonferenze. Verrà così automaticamente creato un nuovo punto P1. Per rilevare il secondo punto di intersezione (quello inferiore) facciamo click sull'intersezione ed otteniamo il nuovo punto P2.

Disegniamo l'asse del lato dell'ottagono 6 / 19

Scegliamo lo strumento "Retta - per due punti" ed andiamo a selezionare i due punti appena creati. Dopo la scelta dello strumento non ci rimane che fare click prima sul punto P1 e poi sul punto P2. In pratica abbiamo appena tracciato l'asse del segmento.

Rileviamo il punto medio del lato dell'ottagono 7 / 19

L'asse appena disegnato va ad intersecarsi con il segmento AB che è il lato dell'ottagono che vogliamo costruire. Per rilevare il nuovo punto andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione tra il segmento AB ed il suo asse. Verrà così creato un nuovo punto M, che altro non è che il punto medio del lato dell'ottagono.

Tracciamo una nuova circonferenza 8 / 19

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il nostro centro sarà il punto M ed il punto per cui dovrà passare la circonferenza potrà essere indifferentemente o il punto A o il punto B. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto M e poi sul punto A o B.

Ricaviamo un nuovo punto di intersezione 9 / 19

La circonferenza appena creata va ad intersecarsi in due punti con l'asse del segmento AB; a noi interessa l'intersezione superiore. Per rilevare il nuovo punto andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione superiore tra la circonferenza con centro in M e l'asse (in viola) del segmento AB. Verrà così creato il nuovo punto P3.

Tracciamo ancora una ulteriore circonferenza 10 / 19

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il nostro centro questa volta sarà il punto P3 ed il punto per cui dovrà passare la circonferenza potrà essere indifferentemente o il punto A o il punto B. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto P3 e poi sul punto A o B.

Rileviamo il centro della circonferenza circoscritta 11 / 19

La circonferenza creata nella fase precedente va ad intersecarsi in due punti con l'asse del segmento AB; a noi interessa l'intersezione superiore. Per rilevare il nuovo punto andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione superiore tra la circonferenza con centro in P3 e l'asse (in viola) del segmento AB. Verrà così creato il nuovo punto O che altro non è che il centro della circonferenza circoscritta all'ottagono che stiamo costruendo.

Tracciamo la circonferenza circoscritta all'ottagono 12 / 19

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il nostro centro sarà il punto O ed il punto per cui dovrà passare la circonferenza potrà essere indifferentemente o il punto A o il punto B. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto O e poi sul punto A o B.

Rileviamo il terzo vertice dell'ottagono 13 / 19

La circonferenza circoscritta va ad intersecarsi in due punti con una delle prime circonferenze tracciate, in particolare quella con centro in B. La prima intersezione (sinistra) corrisponde esattamente al punto A; noi vogliamo rilevare l'intersezione verso destra. Per rilevare il nuovo punto andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione destra tra la circonferenza con centro in B e la circonferenza circoscritta (in verde). Verrà così creato il nuovo punto C che altro non è che il terzo vertice finora rilevato dell'ottagono che stiamo costruendo.

Tracciamo ancora una ulteriore circonferenza 14 / 19

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il nostro centro questa volta sarà il punto C ed il punto per cui dovrà passare la circonferenza sarà il punto B. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto C e poi sul punto B.

Rileviamo il quarto vertice dell'ottagono 15 / 19

La circonferenza appena tracciata va ad intersecarsi con la circonferenza circoscritta in un nuovo punto. Per rilevare il nuovo punto andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sulla nuova intersezione tra la circonferenza con centro in C e la circonferenza circoscritta (in verde). Verrà così creato il nuovo punto D che altro non è che il quarto vertice dell'ottagono.

Ricaviamo gli ultimi quattro vertici dell'ottagono 16 / 19

In pratica si tratta di ripetere quattro volte le fasi 14 e 15 cambiando solo il punto su cui puntare il compasso:
- Tracciamo una nuova circonferenza
- Ricaviamo il quinto vertice dell'ottagono
- Tracciamo una nuova circonferenza
- Ricaviamo il sesto vertice dell'ottagono
- Tracciamo una nuova circonferenza
- Ricaviamo il settimo vertice dell'ottagono
- Tracciamo una nuova circonferenza
- Ricaviamo l'ottavo vertice dell'ottagono

Disegniamo i lati dell'ottagono 17 / 19

Ora abbiamo tutti i vertici del nostro ottagono, non ci rimane che disegnare i lati mancanti. Scegliamo quindi lo strumento "Segmento - tra due punti" e ripetiamo la stessa metodologia spiegata nella fase 3 per sette volte, una per ogni lato. A questo punto l'ottagono è stato costruito.

Verifichiamo ampiezze degli angoli e misure dei lati 18 / 19

Quello appena costruito è un ottagono, sappiamo quindi che gli otto angoli interni devono essere uguali e devono avere un'ampiezza di 135°. Facciamo quindi una verifica utilizzando lo strumento "Angolo" che GeoGebra ci mette a disposizione. Selezioniamo lo strumento di misurazione degli angoli e cominciamo. Per misurare l'angolo in A facciamo click prima sul segmento AB e successivamente sul segmento AH. A questo punto non ci rimane che ripetere l'operazione altre 7 volte, una per ogni angolo dell'ottagono. Possiamo fare il test di trascinamento interagendo con i punti A e B per verificare che gli angoli abbiano sempre ampiezza 135° ed i lati siano sempre tra loro uguali.

Coloriamo internamente l'ottagono 19 / 19

Per evidenziare meglio l'ottagono possiamo dargli un colore interno. In pratica andremo a costruirci sopra un nuovo poligono utilizzando gli otto vertici (A B C D E F G e H). Lo strumento da utilizzare è "Poligono". Ci verrà richiesto di selezionare tutti i vertici ed infine di fare click sul vertice di inizio. E via allora, clicchiamo sui punti con questo ordine: A, B, C, D, E, F, G, H e poi nuovamente su A.

 

Un’occhiata VELOCE ad alcuni strumenti generali di GeoGebra

Per alcune operazioni generali  che vengono utilizzate con una certa frequenza, GeoGebra mette a disposizione il menu “Strumenti generali”. Qui non tratteremo nel dettaglio i singoli strumenti di GeoGebra, ma ci limitiamo a presentare “strade alternative” per utilizzarne alcuni in modo più veloce e comodo rispetto al menu sopraindicato.

Menu strumenti generali di GeoGebra

Muovi vista grafica
• premendo contemporaneamente il tasto MAIUSC e il tasto SX del mouse e successivamente trascinando.
• premendo contemporaneamente il tasto CTRL e il tasto SX del mouse e successivamente trascinando.
• premendo la rotella del mouse e successivamente trascinando

Zoom avanti
• premendo prima il tasto CTRL e successivamente il tasto +
• cliccando con il tasto DX del mouse in una zona vuota della finestra e scegliendo tra le opzioni di zoom proposte
• premendo prima il tasto MAIUSC e poi ruotando la rotella verso l’alto

Zoom indietro
• premendo prima il tasto CTRL e successivamente il tasto -
• cliccando con il tasto DX del mouse in una zona vuota della finestra e scegliendo tra le opzioni di zoom proposte
• premendo prima il tasto MAIUSC e poi ruotando la rotella verso il basso

Mostra/nascondi oggetto
• cliccando con il tasto DX del mouse direttamente sull’oggetto interessato e scegliendo se nasconderlo o mostrarlo tramite l’apposita voce di menu
• cliccando con il tasto DX del mouse direttamente sull’oggetto interessato e scegliendo prima la voce di menu “Proprietà” e poi la scheda “Fondamentali

Mostra/nascondi etichetta
• cliccando con il tasto DX del mouse direttamente sull’oggetto interessato e scegliendo se mostrare o meno l’etichetta  tramite l’apposita voce di menu
• cliccando con il tasto DX del mouse direttamente sull’oggetto interessato e scegliendo prima la voce di menu “Proprietà” e poi la scheda “Fondamentali

Copia stile visuale
• nessuna scorciatoia, bisogna per forza utilizzare il menu “Strumenti generali

Elimina oggetto
• cliccando con il tasto DX del mouse direttamente sull’oggetto interessato e scegliendo la voce di menu “Elimina
• con lo strumento “Muovi”, selezionare l’oggetto cliccandoci con il tasto SX del mouse e successivamente premendo il tasto CANC

ANNULLA
• premendo contemporaneamente il tasto CTRL ed il tasto Z ( Ctrl+Z ) viene annullata l’ultima operazione effettuata.L’annullamento può essere effettuato a ritroso per più operazioni
• alla prima voce del menu “Modifica
• sull’icona raffigurante una freccia gialla (in alto a destra)

 

 

Dopo questo tutorial dovreste essere in grado di costruire da soli il vostro ottagono.
Che ne dite di provarci?
Potreste provare prima il procedimento spiegato con GeoGebra e poi anche quello illustrato all'inizio del tutorial. Vi lascio un applet vuoto di GeoGebra con tutti i comandi abilitati.

Abbiamo visto come costruire e/o disegnare un ottagono, ma altrettanto importante è essere in grado di applicare le formule per calcolare le sue diverse misure geometriche. Abbiamo già visto alcune formule particolari in cui è presente la radice quadrata di 2. Riguardo alle formule generali per l'ottagono regolare si può far riferimento al "Formulario per i poligoni regolari" e si può utilizzare invece il risolutore poligonale per eventuali verifiche su problemi inerenti ai poligoni regolari e quindi anche all'ottagono.

In matematica, un numero poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poligono regolare. I numeri ottagonali sono quindi quei numeri che possono essere disposti a raffigurare uno o più ottagoni. I primi 10 numeri ottagonali sono:
1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280
(Il numero 1 non è però raffigurabile come poligono)

Grazie al widget qui a fianco, è possibile fare tre diverse operazioni di ricerca sui numeri ottagonali:

Si può verificare se un qualsiasi numero intero è ottagonale
È sufficiente inserire un qualsiasi numero intero e se questo risulta essere ottagonale si aprirà una finestra con l'immagine della raffigurazione ottagonale del numero stesso. L'immagine può essere salvata sul proprio PC cliccandoci sopra con il tasto destro del mouse e scegliendo dal menù la voce "Salva immagine con nome".

Si può calcolare quale sia l'N-esimo numero ottagonale
Considerando che il primo numero ottagonale è l'uno, con questa funzione di ricerca è possibile sapere, quale sia (ad esempio) il ventesimo numero ottagonale. In pratica si tratta di voler sapere a quale numero ottagonale corrisponde una certa posizione "ordinale" nella serie dei numeri ottagonali. Anche per questa funzione verrà visualizzata l'immagine "ottagonale" del numero nella posizione cercata, immagine salvabile sul PC con lo stesso procedimento sopra descritto.

Si possono trovare tutti i numeri ottagonali compresi in un intervallo di numeri interi
Anche questa funzione di ricerca è molto semplice, è sufficiente inserire nel primo campo il numero da cui si vuol partire e nel secondo il limite a cui si vuole arrivare. Al click del pulsante "Calcola" si aprirà una finestra contenete l'elenco dei numeri ottagonali cercati. È possibile salvare l'elenco su un file di testo semplicemente selezionando tutti i numeri e cliccandoci sopra con il tasto destro del mouse. Non rimane che scegliere dal menù la voce "Copia" ed incollare l'elenco memorizzato su un qualsiasi file di testo (es: TXT, DOC...)