Introduzione

Geometria senza curve - Guida poligonale geogebricamente assistita

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Chi ha paura della geometria?

La geometria é spigolosa. Quante volte ho sentito frasi di questo tipo! Si usa il termine “spigolosa” con accezione sicuramente negativa. Gli spigoli fanno male (provate a sbatterci), non sono bellissimi da vedere; meglio una curva o un bel raccordo (più rassicuranti). E soprattutto, gli spigoli fanno paura perché non immediatamente decifrabili: quali elementi nascondo? Cosa, intrecciandosi (incontrandosi mi piace di più), li forma?. Guardiamo uno spigolo con timore e non vediamo le rette, gli angoli, i piani o le superfici che lo creano. E’ come quando ti puntano una pistola, lo spettro visivo viene completamente occupato da un buco nero spaventoso e non c’è modo di vedere la canna, il tamburo, il calcio, la mano e il braccio dell’individuo che la sta impugnando.

Ma davvero la geometria procura simili stati d’animo? Eppure non è un’arma, o meglio, lo è, ma non d’attacco, bensì da difesa. E sì perché la geometria può aiutarci a difenderci dagli spigoli (pericolosi problemi?), ci aiuta a capirne l’essenza e quando una cosa la conosci non fa più paura.
Ecco, questo è quello che vorrei fare: parlare di geometria senza curve. Un tentativo di esorcizzare una fobia giustificata solo dalla non conoscenza.

Vorrei parlare di spigoli, ma anche di punti, rette, segmenti, angoli,… circonferenze. Circonferenze? Ebbene si, le circonferenze non sono curve ma “spigoli” (meglio sezioni); chi ne sa più di me le chiama coniche (chiedo perdono a chi ho sfatato un mito). Mi direte: ”in matematica, un oggetto unidimensionale e continuo è da considerarsi una curva; che sia una circonferenza o una retta poco importa”. E lo sapevo che qualcuno mi avrebbe bacchettato!

Se ci mettiamo a disquisire con definizioni più o meno appropriate non ne usciamo più e chi legge rischia di capirne ben poco. Diciamo che la geometria senza curve di cui si parlerà è da intendersi quella dell’undicenne a cui si chiede di disegnare con il solo ausilio di squadrette, una riga mediamente lunga ed un compasso. All’undicenne, per il momento, non viene accennato che esiste uno strumento chiamato curvilineo. All’undicenne si dice che, avendo due punti li deve unire con una linea (equazione lineare...). Stop! E se poi di linee ne avrà più di una, e se poi alcune di queste avran voglia di incontrarsi, allora si accorgerà da solo di aver creato degli spigoli.

Questa guida cercherà di spiegargli (all’undicenne) che quegli spigoli non sono altro che angoli che dividono il piano in due o più parti e che le diverse linee che ha tracciato possono essere identificate come rette, segmenti, perpendicolari ecc. Insomma, vorrei partire dalle basi della geometria piana e, possibilmente, fermarmi lì.

Vorrei, vorrei… ma non posso! Quello che state per leggere non sarà certo un trattato di geometria euclidea di base, non ne sarei capace. Sarebbe impossibile essere esaustivi vista l’ampiezza dell’argomento. Il mio intento è molto più limitato e mirato. Se vi dicessi semplicemente che alla fine di questa piccola “guida poligonale” l’unica cosa che davvero imparerete è come costruire i vari poligoni, sarei abbastanza sincero? Abbastanza!

Proprietà e costruzione del pentagono

Provate a costruire (notare che non uso il verbo “disegnare”) ad esempio un Pentagono regolare. Allora, dovrete tracciare su un foglio (circa) 15 punti, 6 archi o cerchi, una retta, una perpendicolare e 7 segmenti. Ma cos’è un punto, una retta, un angolo, un cerchio, una perpendicolare … ? Non ve lo dirò, questo lo lascio fare ai libri di testo scolastici (magari, se capita, qualche accenno...). Qui voglio limitarmi a spiegare come questi elementi geometrici, interagendo tra di loro, siano in grado di costruire poligoni.

Ed è proprio di costruzioni geometriche che parleremo, ma lo faremo creando prima una piccola cassetta degli attrezzi: strumenti necessari per comprendere gli enti e le costruzioni geometriche di base. Perché se vi chiedo (e lo farò) di tracciare una perpendicolare, una parallela, trovare un punto medio, dividere un angolo in due parti uguali ecc., mi aspetto che sappiamo tutti di cosa si sta parlando. Una volta acquisite le nozioni di base allora ci butteremo a capofitto sulle costruzioni dei poligoni e lo faremo in modo sicuramente più consapevole.

Useremo riga, compasso e… e basta. Solo riga e compasso! Niente squadrette, niente righe graduate, nessun compasso “moderno”. I nostri strumenti saranno la riga ed il compasso di Euclide, quindi, strumenti di più di 2300 anni fa.  Avrete ormai capito che il vero obbiettivo di questa guida poligonale è strutturare una risorsa informativa che, mirando alla costruzione dei poligoni, dovrebbe (si spera) creare un percorso didattico che attraversi le basi della geometria euclidea (rimanendo sul piano), limitandosi però ad elementi geometrici costituiti solo da punti, rette (e segmenti), angoli e qualche conica (solo circonferenze); una geometria senza curve (quella dell’undicenne).

A questo punto immagino che molti di voi ci abbiano già lasciati: “ma siamo pazzi? Qua si tratta di disegnare come si faceva 2300 anni fa! Io me la filo e di corsa”. Peccato per loro; continueranno a pensare che una figura geometrica si disegna, mentre chi ha avuto la pazienza di leggere fin qui ed avrà la costanza di arrivare in fondo alla guida, capirà il vero senso di una costruzione geometrica e magari imparerà anche che se qualche volta non è possibile “costruire geometricamente” una figura, forse un motivo logico-matematico c’è.

E per voi che siete rimasti, una sorpresa: useremo idealmente e didatticamente strumenti di 2300 anni fa, ma lo faremo con l’ausilio della tecnologia. Niente fogli e matite bensì un software, GeoGebra ed il potenziale tecno-informativo che il Web è in grado di fornirci. Faremo le nostre costruzioni assistiti da uno dei migliori software didattici di geometria analitica che ci permetterà di dare dinamicità alle nostre figure e di interagire con gli elementi geometrici.

In conclusione: le costruzioni dei poligoni saranno un mezzo per apprendere (o ripassare) un po’ di geometria di base ed allo stesso tempo prendere dimestichezza con gli strumenti messi a disposizione da GeoGebra.

Ci sarà dell’altro? Si. Visto che i poligoni saranno i protagonisti di questa guida, ho pensato anche a qualche web application: un risolutore di problemi sui poligoni regolari ed un widget di ricerca e presentazione per i numeri poligonali.

E adesso, per chi vuole, possiamo iniziare.