Immagine da Wikipedia

L’ettagono è il poligono regolare di minor numero di lati che non sia costruibile facendo uso esclusivamente della riga e del compasso.

Fa parte della famiglia dei poligoni regolari, figure che si contraddistinguono dal resto delle figure piane e chiuse per due proprietà fondamentali:

- hanno tutti i lati congruenti (lunghezza uguale)
- hanno tutti gli angoli interni ed esterni tra loro congruenti (ampiezza uguale)

L’ettagono ha gli angoli tutti uguali pari a circa 128° 34' 12". Per conformità con le misurazioni angolari fatte da GeoGebra, da qui in poi useremo sempre la notazione decimale, quindi l'angolo risulterà essere pari a circa 128,57°. La misura dell'angolo è la stessa, cambia solo la notazione che non è più sessagesimale bensì decimale. In caso di necessità, per la conversione si può usare questo convertitore angolare.

L'ettagono possiede 7 assi di simmetria che altro non sono che le sue bisettrici perfettamente coincidenti con le sue mediane ed altezze, di conseguenza, un unico punto identifica contemporaneamente l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro.

Il problema della costruzione con riga e compasso dei poligoni regolari, ovvero della suddivisione della circonferenza in n parti uguali (ciclotomia), era aperto da duemila anni. Euclide aveva dimostrato che, con riga e compasso era possibile costruire poligoni con 3, 4, 5, 15 lati, oltre quelli ottenuti per bisezione di tali lati (ad esempio l’ottagono), ma non si sapeva come costruire i poligoni con 7, 9, 11, 14, 17 lati. Gauss scoprì che un poligono regolare di n lati è costruibile con riga e compasso SE E SOLO SE n è una potenza intera di 2 o il prodotto di una potenza di 2 e di uno o più primi di Fermat.
La circonferenza, dunque, può essere suddivisa in 17 parti uguali ma non in 7, dato che 7 non è un primo di Fermat e la costruzione dell'ettagono regolare risulta quindi impossibile con l'uso degli strumenti elementari.
Gauss fu così orgoglioso del risultato raggiunto, tenuto conto che per duemila anni altri matematici avevano fallito, da esprimere il desiderio che sulla sua pietra tombale fosse inciso un poligono regolare di 17 lati (ettadecagono).

E allora? Questo vuol dire che ogni volta che abbiamo letto su un testo scolastico o su un sito che è possibile costruire l’ettagono… beh, come minimo non abbiamo ricevuto un’informazione corretta e completa? Vuol dire che anche io, presentandovi delle possibili costruzioni dell’ettagono, rischio di cadere nello stesso errore? Ma anche NO!
Le costruzioni che andremo ad approfondire sono delle approssimazioni (detto forte e chiaro) mooolto buone che contemplano errori trascurabili di poco più di un decimo di grado sull’angolo al centro.

Immagine di aldoaldoz

Però, perché imparare a costruire un poligono già sapendo che la sua costruzione non sarà mai esatta? A questa domanda ognuno può dare le risposte che crede. Io penso che, essendo delle approssimazioni con errori davvero trascurabili e non dovendo costruire razzi che vadano su Marte ma magari un’aiuola a forma ettagonale, perché no? Aiuole a parte, ritengo che, in generale, lo studio delle costruzioni dei poligoni regolari con il solo ausilio della riga e del compasso sia un ottimo esercizio logico-geometrico che aiuta a comprendere a pieno le caratteristiche geometriche di queste affascinanti figure, rendendole tangibili e quindi più “famigliari”. Il fatto che si tratti (nel caso dell’ettagono) di approssimazioni, nulla toglie all’utilità didattica di queste costruzioni, senza parlare poi della “genialità” di alcune di esse, per le quali, non venendone a conoscenza, ci saremmo persi l’occasione di poterle apprezzare. Così, solo come esempio esplicativo: guardate la costruzione qui a fianco; si può partire da un esagono per costruire l’ettagono. In pratica, l’altezza di uno dei sei triangoli equilateri (apotema dell'esagono) che compongono l’esagono è perfettamente approssimabile al lato dell’ettagono circoscritto dalla stessa circonferenza. Se non è semplicemente geniale questo…

Per completezza di informazione, una costruzione esatta, per quanto NON ottenuta con l'uso classico di riga e compasso, può essere ottenuta grazie a una costruzione di Neusi. OPQR è un quadrato di lato unitario; la retta verticale identificata dal punto A è l'asse del segmento OP mentre l'arco QB è tracciato con centro in O. La costruzione di Neusi comporta la ricerca di un segmento di lunghezza unitaria passante per P e i cui estremi cadano sull'asse di OP e sull'arco QB: l'angolo PAO è l'angolo interno dell'ettagono.

Ma a chi usa il metodo Neusi, forse, piace vincere facile ; a noi no, quindi andiamo ad approfondirle passo passo queste costruzioni certamente approssimate, ma ugualmente interessanti.

L'intento di questo tutorial per la costruzione di un ettagono non è solo quello di spiegare come disegnare su carta con l'esclusivo ausilio di riga e compasso, ma anche quello di prendere un po' di dimestichezza con un software didatticamente molto utile come GeoGebra, un software open source per l'apprendimento e l'insegnamento della matematica.
Si vuole quindi approfittare delle spiegazioni sulle costruzioni dei poligoni regolari con riga e compasso per presentare anche gli strumenti, gli oggetti e le funzioni di base di GeoGebra.

Costruzione con riga e compasso

Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza

Tracciamo una retta qualsiasi, se riusciamo, "abbastanza" orizzontale. Si comincia puntando il nostro compasso su di un punto qualsiasi O appartenente alla retta e con una apertura di compasso a piacere si disegna una circonferenza.

Tracciamo un primo arco

Dall'intersezione tra la retta e la circonferenza abbiamo ottenuto due punti, P1 (destra) e P2 (sinistra). In questa fase prendiamo in considerazione solo il punto P1
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto P1 con un'apertura pari al segmento P1O.

Si passa poi a tracciare un secondo arco

In pratica dobbiamo ripetere l'operazione appena eseguita nella fase 2, invertendo però i punti di riferimento. Questa volta il compasso va puntato sul punto P2 e con un'apertura pari al segmento P2O tracciamo il secondo arco.

Tracciamo un primo segmento

Il secondo arco tracciato nella fase precedente si interseca con la circonferenza iniziale creando un nuovo punto: P3.
Andiamo quindi a tracciare un segmento i cui estremi saranno il punto P3 e il punto P1.

Tracciamo un secondo segmento

Il primo arco tracciato nella fase 2 si interseca con la circonferenza iniziale creando un nuovo punto: P4.
Andiamo quindi a tracciare un segmento i cui estremi saranno il punto P4 e il punto O che è il centro della circonferenza iniziale.

Tracciamo un terzo archetto più piccolo

I due segmenti disegnati nelle rispettive fasi 4 e 5, si intersecano e ci permettono di rilevare il nuovo punto P5. A questo punto abbiamo il necessario per tracciare un nuovo arco. Questa volta il compasso va puntato sul punto P1 e con un'apertura pari al segmento P1P5 tracciamo un archetto sufficiente da andare ad intersecarsi con la circonferenza iniziale.

Tracciamo un terzo segmento

L'archetto precedentemente tracciato si interseca con la circonferenza iniziale creando il nuovo punto P6 di fondamentale importanza per la nostra costruzione.
Andiamo quindi a tracciare un segmento i cui estremi saranno il punto P6 e il punto O.

Settima parte dell'angolo giro

La costruzione dell'ettagono implica la suddivisione della circonferenza e del suo angolo al centro (angolo giro con centro in O) in sette parti perfettamente uguali. La procedura per rilevare il punto P6 ci permette di ricavare l'angolo P6OP1 (angolo α) che misura esattamente 51,3178°. Come sappiamo, la settima parte di un angolo giro è pari a circa 51,4286°. La differenza, e quindi l'errore commesso, è di circa 0,1108°, valore accettabile per poter considerare almeno approssimabile l'angolo α alla settima parte di un angolo giro.

Proseguiamo con la costruzione

La verifica della misura dell'angolo α ci ha permesso di stabilire che i punti P1 e P6 possono considerarsi i primi due vertici rilevati dell'ettagono; in pratica abbiamo ottenuto il lato l del nostro poligono. Non ci rimane che "distribuirlo" altre sei volte lungo la circonferenza. Quindi, puntando il compasso sul punto P1, con apertura pari al segmento P1P6, tracciamo un arco che intersecherà la circonferenza in un nuovo punto.

Rileviamo i vertici mancanti dell'ettagono

L'arco tracciato nella fase precedente ci ha permesso di rilevare un nuovo punto che però sappiamo essere un vertice, quindi lo etichettiamo con la lettera B. Abbiamo cambiato l'etichetta anche al punto P1 che diventa quindi il vertice C. Non rimane che ripetere l'operazione fatta in fase 9, ovvero tracciare un nuovo arco, questa volta puntando il compasso sul vertice B con apertura pari a BC. L'operazione va ripetuta n volte con l'unica accortezza di puntare il compasso sui nuovi vertici ottenuti di volta in volta, il tutto fino a rilevare tutti i vertici dell'ettagono.

Disegnamo i lati dell'ettagono

Ottenuti tutti i vertici, non ci rimane che prendere il righello e disegnare i lati dell'ettagono unendo i suoi sette vertici A B C D E F G in modo da completare la procedura di costruzione.

Abbiamo quindi visto come costruire un ettagono inscritto in una circonferenza, ma se dovessimo avere la necessità di costruire l'ettagono impostando una lunghezza ben precisa del lato l, avremmo due modi per procedere:

1. Utilizziamo la procedura di costruzione sopra descritta stando attenti però ad impostare un'apertura di compasso (raggio della circonferenza circoscritta) tale che alla fine risulti un ettagono con la misura del lato l che desideriamo.
   Sapendo che tra il lato l di un ettagono ed il raggio r della sua circonferenza circoscritta esiste un rapporto di proporzione definito, per conoscere l'ampiezza dell'apertura del compasso r, sarà sufficiente dividere la lunghezza l per ≈0,868 (vedere tabella del formulario poligoni regolari).
   In pratica r = l/0,868.
   Facendo qualche esempio concreto:
   per l=6 --> r sarà uguale a 6/0,868 = 6,912
   per l=17 --> r sarà uguale a 17/0,868 = 19,585
   
2. Possiamo anche utilizzare una procedura di costruzione diversa che però non tenga conto di una circonferenza iniziale, ma che ci permetta di partire impostando sin da subito la lunghezza del lato l dell'ettagono che vogliamo costruire. Per spiegare questo nuovo tipo di costruzione dell'ettagono ci serviremo di GeoGebra.

Costruzione con GeoGebra

Come si può notare, l'applet dispone di una barra di scorrimento delle diverse fasi di costruzione. Per visualizzare cronologicamente le varie fasi della costruzione dell'ettagono, è sufficiente azzerare tutte le operazioni cliccando sul primo pulsante |<< della barra di scorrimento, successivamente si possono visualizzare tutte le singole azioni cliccando di volta in volta sul terzo pulsante >>.
È possibile modificare l'ettagono interagendo con l'applet, ovvero muovendo i due punti A e B (test di trascinamento); in questo modo possiamo notare come le misure dei lati tra di loro rimangono sempre uguali (tranne uno), mentre le ampiezze degli angoli, che teoricamente dovrebbero essere di circa 128,57°, rimangono comunque sempre le stesse. Non ci dimentichiamo che stiamo parlando di costruzione approssimata e quindi non perfettamente esatta.

La costruzione che segue è composta da 24 fasi alcune dei quali si potrebbero "saltare" nel momento in cui la costruzione da eseguire non dovesse seguire le ferree regole della "riga e compasso di Euclide". Ma noi siamo qui innanzitutto per imparare i procedimenti corretti; a semplificare e quindi a ridurre il numero di passi da svolgere sarete voi stessi nel momento in cui diventerete consapevoli e padroni delle regole e tecniche di costruzione geometrica. Per correttezza va detto che la costruzione che vedremo con GeoGebra non è del tutto rispettosa delle regole sopra citate. Vengono usati alcuni strumenti (es: la perpendicolare e il compasso) che incorporano le procedure corrette ma non le tracciano sulla Vista grafica. Si è scelto di utilizzarli per non appesantire ulteriormente la costruzione già di per sè laboriosa. La costruzione corretta con il solo ausilio di riga e compasso rimane quella spiegata all'inizio tramite le slide.

E allora... , in modo approssimato (con un errore minimo), per costruire l'ettagono regolare con GeoGebra questa è la procedura seguita e gli strumenti utilizzati:

Come evidenziare congruenze e versi di rette ed angoli?

Ogni oggetto geometrico ha le sue specifiche proprietà. Facendo click con il tasto destro del mouse sull'oggetto geometrico sarà possibile visualizzare un menù contestuale con il quale interagire per modificare alcuni settaggi. E' molto importante verificare la prima voce del menù (immagine a sinistra, freccia rossa) che deve corrispondere all'oggetto interessato.

Nel nostro caso vogliamo evidenziare eventuali congruenze o specifici versi degli elementi geometrici. È sufficiente cliccare con il tasto destro del mouse sopra l’elemento che però potrà essere solo o un “oggetto retta” (segmento, retta, semiretta ecc.)  o un angolo. Si aprirà il solito menu contestuale. Scegliamo la voce "Proprietà" e nella maschera che comparirà scegliamo la scheda "Decorazione". Come si può vedere dall’immagine di esempio, la congruenza tra “oggetti retta” si può evidenziare con singole, doppie o triple lineette, mentre per le ampiezze degli angoli, l’evidenziazione può essere fatta con singoli, doppi o tripli archetti o con archetti con singole, doppie o triple lineette. Simile è il discorso dei versi. Sugli “oggetti retta” i versi vengono evidenziati con delle singole, doppie o triple freccette, mentre per gli angoli viene inserita una freccia ad indicare il verso dell’archetto. In pratica, passando attraverso la scheda “Decorazioni”, per gli “oggetti retta” e per gli angoli, è possibile aggiungere lineette o freccette sugli oggetti in modo che vengano evidenziate eventuali congruenze e/o versi.

Dopo questo tutorial dovreste essere in grado di costruire da soli il vostro ettagono.
Che ne dite di provarci?
Potreste provare prima il procedimento spiegato con GeoGebra e poi anche quello illustrato all'inizio del tutorial. Vi lascio un applet vuoto di GeoGebra con tutti i comandi abilitati.

Abbiamo visto come costruire e/o disegnare un ettagono, ma altrettanto importante è essere in grado di applicare le formule per calcolare le sue diverse misure geometriche. Riguardo alle formule per l'ettagono regolare si può far riferimento al "Formulario per i poligoni regolari", si può utilizzare invece il risolutore poligonale per eventuali verifiche su problemi inerenti ai poligoni regolari.

In matematica, un numero poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poligono regolare. I numeri ettagonali sono quindi quei numeri che possono essere disposti a raffigurare uno o più ettagoni. I primi 10 numeri ettagonali sono:
1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235
(Il numero 1 non è però raffigurabile come poligono)

Grazie al widget qui a fianco, è possibile fare tre diverse operazioni di ricerca sui numeri ettagonali:

Si può verificare se un qualsiasi numero intero è ettagonale
È sufficiente inserire un qualsiasi numero intero e se questo risulta essere ettagonale si aprirà una finestra con l'immagine della raffigurazione ettagonale del numero stesso. L'immagine può essere salvata sul proprio PC cliccandoci sopra con il tasto destro del mouse e scegliendo dal menù la voce "Salva immagine con nome".

Si può calcolare quale sia l'N-esimo numero ettagonale
Considerando che il primo numero ettagonale è l'uno, con questa funzione di ricerca è possibile sapere, quale sia (ad esempio) il ventesimo numero ettagonale. In pratica si tratta di voler sapere a quale numero ettagonale corrisponde una certa posizione "ordinale" nella serie dei numeri ettagonali. Anche per questa funzione verrà visualizzata l'immagine "ettagonale" del numero nella posizione cercata, immagine salvabile sul PC con lo stesso procedimento sopra descritto.

Si possono trovare tutti i numeri ettagonali compresi in un intervallo di numeri interi
Anche questa funzione di ricerca è molto semplice, è sufficiente inserire nel primo campo il numero da cui si vuol partire e nel secondo il limite a cui si vuole arrivare. Al click del pulsante "Calcola" si aprirà una finestra contenete l'elenco dei numeri ettagonali cercati. È possibile salvare l'elenco su un file di testo semplicemente selezionando tutti i numeri e cliccandoci sopra con il tasto destro del mouse. Non rimane che scegliere dal menù la voce "Copia" ed incollare l'elenco memorizzato su un qualsiasi file di testo (es: TXT, DOC...)