Esagono

Costruzione e proprietà dell'esagono

Condividi

Esagono: costruzione, proprietà e curiosità
Immagine da Wikipedia
L’esagono è probabilmente il poligono regolare più elegante. Nonostante i suoi sei lati, la sua costruzione geometrica risulta di una semplicità sconcertante, diversamente da quello che abbiamo ad esempio visto con il pentagono. Già questo dovrebbe farci pensare: la complessità di un poligono non è direttamente proporzionale al numero dei suoi lati.

L'esagono fa parte della famiglia dei poligoni regolari e, come abbiamo più volte scritto, nella geometria piana (geometria euclidea), questo tipo di figure si contraddistinguono dal resto delle figure piane e chiuse per due proprietà fondamentali:

- hanno tutti i lati congruenti (lunghezza uguale)
- hanno tutti gli angoli interni ed esterni tra loro congruenti (ampiezza uguale)

L’esagono ha gli angoli tutti uguali e pari a 120° e possiede 6 assi di simmetria che altro non sono che le sue 3 bisettrici e le 3 mediane ed altezze tra loro perfettamente coincidenti, di conseguenza, un unico punto identifica contemporaneamente l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro di questa figura perfettamente regolare.

Ma a rendere l’esagono assolutamente unico è il rapporto tra il raggio della sua circonferenza circoscritta ed il suo lato. Il risultato di questo rapporto è uguale a 1, il che significa che lato e raggio della circonferenza sono perfettamente congruenti. Nessun altro poligono regolare possiede questa straordinaria caratteristica. A questo si aggiunga che, come conseguenza del rapporto r c / l = 1 , i triangoli che lo compongono, contrariamente a tutti gli altri poligoni regolari, non sono isosceli bensì triangoli equilateri.

Bisezione dell'angolo di un triangolo equilatero

È inoltre il primo poligono “derivabile” che incontriamo, infatti, partendo dalla costruzione di un triangolo equilatero, con la semplice tecnica della bisettrice di un angolo alla circonferenza relativo ad un determinato lato, si possono dividere a metà gli archi sottesi dai tre lati del triangolo in modo da ottenere altri tre punti di intersezione con la circonferenza circoscritta e di conseguenza i sei vertici dell’esagono (l'immagine a destra dovrebbe essere abbastanza esplicativa).

Possiamo quindi concludere affermando che l’esagono è un poligono regolare elegantemente semplice e unico e questo grazie soprattutto al suo lato perfettamente congruente con il raggio della sua circonferenza circoscritta; il che, matematicamente non è poco, anzi…

L'intento di questo tutorial per la costruzione di un esagono non è solo quello di spiegare come disegnare su carta con l'esclusivo ausilio di riga e compasso, ma anche quello di prendere un po' di dimestichezza con un software didatticamente molto utile come GeoGebra, un software open source per l'apprendimento e l'insegnamento della matematica.
Si vuole quindi approfittare delle spiegazioni sulle costruzioni dei poligoni regolari con riga e compasso per presentare anche gli strumenti, gli oggetti e le funzioni di base di GeoGebra.

 

Costruzione con riga e compasso

Esagono fase 1: Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza

Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza

Tracciamo una retta qualsiasi, se riusciamo, "abbastanza" orizzontale. Orizzontale perchè così la base del nostro esagono risulterà, anche lei, "abbastanza" orizzontale.
Il nostro obbiettivo è costruire un esagono e non è fondamentale che la sua base risulti perfettamente orizzontale. Si comincia puntando il nostro compasso su di un punto qualsiasi O appartenente alla retta e con una apertura di compasso a piacere si disegna una circonferenza.

Esagono fase 2: Si passa poi a tracciare un primo arco

Si passa poi a tracciare un primo arco

Dall'intersezione (destra) tra la retta e la circonferenza abbiamo ottenuto un primo punto C.
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto C con un'apertura pari al segmento CO.

Esagono fase 3: Si passa poi a tracciare un secondo arco

Si passa poi a tracciare un secondo arco

In pratica dobbiamo ripetere l'operazione appena eseguita nella fase 2. Questa volta il compasso va puntato sul punto F ottenuto dall'intersezione (sinistra) tra retta iniziale e circonferenza. Con un'apertura pari al segmento FO tracciamo il secondo arco.

Esagono fase 4: Abbiamo ottenuto i vertici dell'esagono

Abbiamo ottenuto i vertici dell'esagono

Dalle intersezioni tra la retta iniziale e la circonferenza abbiamo ottenuto i primi due vertici, punto C e punto F poi, grazie al primo arco tracciato nella fase 2 sono arrivati anche i vertici B e D, ed infine, un nuovo arco tracciato nella fase 3 ci ha permesso di trovare gli ultimi due vertici, il punto A ed il punto E.

Esagono fase 5: Disegnamo i lati dell'esagono

Disegnamo i lati dell'esagono

Non ci rimane che prendere il righello e disegnare i sei lati dell'esagono unendo i suoi sei vertici A B C D E F in modo da completare la procedura di costruzione.

Abbiamo quindi visto come costruire un esagono inscritto in una circonferenza, ma se dovessimo avere la necessità di costruire l'esagono impostando una lunghezza ben precisa del lato l? Nessun problema! La misura del lato dell'esagono costruito è perfettamente identica al raggio della circonferenza circoscritta ( r c / l = 1 ). Quindi, se vogliamo una determinata misura del lato, sarà sufficiente impostare l'apertura di compasso pari alla misura desiderata.

Molteplici sono i modi di costruire un esagono regolare, di seguito ne vediamo uno dei tanti. Questa volta decidiamo di partire direttamente da un segmento, ovvero dal lato dell'esagono che vogliamo costruire e per farlo ci facciamo aiutare dal nostro amico GeoGebra.

 

Costruzione con GeoGebra

Come si può notare, l'applet dispone di una barra di scorrimento delle diverse fasi di costruzione. Per visualizzare cronologicamente le varie fasi della costruzione dell'esagono, è sufficiente azzerare tutte le operazioni cliccando sul primo pulsante |<< della barra di scorrimento, successivamente si possono visualizzare tutte le singole azioni cliccando di volta in volta sul terzo pulsante >>.
È possibile modificare l'esagono interagendo con l'applet, ovvero muovendo i due punti A e B; in questo modo possiamo notare come le misure dei lati tra di loro rimangono sempre uguali, mentre le ampiezze degli angoli misurano sempre 120° (test di trascinamento).

La costruzione che segue è composta da 13 fasi alcune dei quali si potrebbero "saltare" nel momento in cui la costruzione da eseguire non dovesse seguire le ferree regole della "riga e compasso di Euclide". Ma noi siamo qui innanzitutto per imparare i procedimenti corretti; a semplificare e quindi a ridurre il numero di passi da svolgere sarete voi stessi nel momento in cui diventerete consapevoli e padroni delle regole e tecniche di costruzione geometrica.

 

E allora... per costruire l'esagono con GeoGebra questa è la procedura seguita e gli strumenti utilizzati:

Creiamo un primo punto 1 / 13

Dopo aver selezionato lo strumento "Nuovo punto", facciamo click su una zona della "Vista Grafica" per creare il nuovo punto, le cui coordinate verranno fissate nel momento in cui viene rilasciato il tasto del mouse.

Creiamo un secondo punto 2 / 13

Lo strumento "Nuovo punto" è ancora selezionato quindi per creare il secondo punto facciamo click su un'altra zona della "Vista Grafica". La distanza tra il primo ed il secondo punto sarà la lunghezza del lato l del nostro esagono.

Disegniamo un segmento passante tra due punti 3 / 13

Scegliamo lo strumento "Segmento - tra due punti" ed andiamo a selezionare i due punti appena creati. In pratica, dopo la scelta dello strumento non ci rimane che fare click prima su un punto e poi sull'altro.

Costruiamo due circonferenze 4 / 13

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il centro per la prima circonferenza sarà il punto A ed il punto per cui dovrà passare sarà il punto B. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto A e poi sul punto B. Ripetiamo le operazioni descritte per costruire anche la seconda circonferenza. Questa volta il centro sarà il punto B ed il punto per cui dovrà passare la seconda circonferenza sarà il punto A

Andiamo a rilevare il centro della circonferenza circosritta 5 / 13

Le circonferenze appena create vanno ad intersecarsi in due punti. Noi dobbiamo rilevare il punto di intersezione superiore. Per farlo andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione superiore tra le due circonferenze. Verrà così automaticamente creato un nuovo punto O.

Tracciamo la circonferenza circoscritta 6 / 13

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il nostro centro sarà il punto O ed il punto per cui dovrà passare la circonferenza potrà essere indifferentemente o il punto A o il punto B. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto O e poi sul punto A o B. Il raggio (OA) lo abbiamo etichettato come r e lo abbiamo colorato di verde insieme alla circonferenza circoscritta all'esagono che stiamo costruendo, questo per evidenziali dal resto delle costruzioni.

Ricaviamo il terzo vertice dell'esagono 7 / 13

La circonferenza verde appena creata va ad intersecarsi con una delle circonferenze create nella fase 4 ed in particolare con quella di raggio OB. Per rilevare il nuovo punto andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione superiore tra le due circonferenze. Verrà così creato un nuovo punto C, che altro non è che il terzo vertice dell'esagono che stiamo costruendo.

Tracciamo una nuova circonferenza 8 / 13

Scegliamo lo strumento "Circonferenza dati il centro e un punto" che quindi andiamo a selezionare. Il nostro centro sarà il punto C ed il punto per cui dovrà passare la circonferenza potrà essere indifferentemente o il punto B o il punto O. In pratica, dopo aver selezionato lo strumento clicchiamo prima sul punto O e poi sul punto B o O. È facilmente intuibile che tutte le circonferenze finora tracciate hanno sempre come raggio r.

Ricaviamo il quarto vertice dell'esagono 9 / 13

La circonferenza appena creata va ad intersecarsi con la circonferenza circoscritta (verde). Per rilevare il nuovo punto andiamo a scegliere lo strumento "intersezione di due oggetti". Selezionato lo strumento corretto non ci rimane che fare click approssimativamente sull'intersezione superiore tra le due circonferenze. Verrà così creato un nuovo punto D, che altro non è che il quarto vertice dell'esagono che stiamo costruendo.

Ricaviamo gli ultimi due vertici dell'esagono 10 / 13

In pratica si tratta di ripetere due volte le fasi 8 e 9 cambiando solo il punto su cui puntare il compasso:
- Tracciamo una nuova circonferenza
- Ricaviamo il quinto vertice dell'esagono
- Tracciamo una nuova circonferenza
- Ricaviamo il sesto vertice dell'esagono

Disegniamo i lati dell'esagono 11 / 13

Ora abbiamo tutti i vertici del nostro esagono, non ci rimane che disegnare i lati mancanti. Scegliamo quindi lo strumento "Segmento - tra due punti" e ripetiamo la stessa metodologia spiegata nella fase 3 per cinque volte, una per ogni lato. A questo punto l'esagono è stato costruito.

Verifichiamo ampiezze degli angoli e misure dei lati 12 / 13

Quello appena costruito è un esagono, sappiamo quindi che i sei angoli interni devono essere uguali e devono avere un'ampiezza di 120°. Facciamo quindi una verifica utilizzando lo strumento "Angolo" che GeoGebra ci mette a disposizione. Selezioniamo lo strumento di misurazione degli angoli e cominciamo. Per misurare l'angolo in A facciamo click prima sul segmento AB e successivamente sul segmento AF. A questo punto non ci rimane che ripetere l'operazione altre 5 volte, una per ogni angolo dell'esagono. Possiamo fare il test di trascinamento interagendo con i punti A e B per verificare che gli angoli abbiano sempre ampiezza 120° ed i lati siano sempre tra loro uguali.

Coloriamo internamente l'esagono 13 / 13

Per evidenziare meglio l'esagono possiamo dargli un colore interno. In pratica andremo a costruirci sopra un nuovo poligono utilizzando i sei vertici (A B C D E e F). Lo strumento da utilizzare è "Poligono". Ci verrà richiesto di selezionare tutti i vertici ed infine di fare click sul vertice di inizio. E via allora, clicchiamo sui punti con questo ordine: A, B, C, D, E, F e poi nuovamente su A.

 

Come cambiare lo stile grafico degli elementi geometrici?

Menù proprietà tasto destro di GeoGebra Ogni oggetto geometrico ha le sue specifiche proprietà. Facendo click con il tasto destro del mouse sull'oggetto geometrico sarà possibile visualizzare un menù contestuale con il quale interagire per modificare alcuni settaggi. E' molto importante verificare la prima voce del menù (immagine a sinistra, freccia rossa) che deve corrispondere all'oggetto interessato.

Scheda dello stile entità di GeoGebra Nel nostro caso vogliamo cambiare lo stile grafico di alcuni degli elementi geometrici presenti sulla “Vista Grafica. È sufficiente cliccare con il tasto destro del mouse sopra l’elemento il cui stile vogliamo modificare. Si aprirà il solito menu contestuale. Scegliamo la voce "Proprietà" e nella maschera che comparirà scegliamo la scheda "Stile". A questo punto possiamo scegliere lo spessore della linea agendo sull’apposito slider, oppure possiamo decidere lo stile del tratto andando ad aprire il menu a tendina e scegliendo le diverse opzioni (linea continua, tratteggio grande o piccolo, tratteggio con solo punti o tratto e punto). Per le figure chiuse ci sono due ulteriori opzioni: il menu a tendina per il tipo di riempimento (normale, tratteggio, immagine) e la casellina di controllo per poter ottenere un riempimento inverso. Per i punti un’opzione particolare permette di deciderne lo stile (pieno, vuoto, ics, più, rombo pieno o vuoto e frecce nelle 4 direzioni), mentre per gli angoli uno slider dimensione permette di deciderne la grandezza dell’archetto di evidenziazione.

 

Dopo questo tutorial dovreste essere in grado di costruire da soli il vostro esagono.
Che ne dite di provarci?
Potreste provare prima il procedimento spiegato con GeoGebra e poi anche quello illustrato all'inizio del tutorial. Vi lascio un applet vuoto di GeoGebra con tutti i comandi abilitati.

Abbiamo visto come costruire e/o disegnare un esagono, ma altrettanto importante è essere in grado di applicare le formule per calcolare le sue diverse misure geometriche. Riguardo alle formule per l'esagono regolare si può far riferimento al "Formulario per i poligoni regolari", si può utilizzare invece il risolutore poligonale per eventuali verifiche su problemi inerenti ai poligoni regolari.

In matematica, un numero poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poligono regolare. I numeri esagonali sono quindi quei numeri che possono essere disposti a raffigurare uno o più esagoni. I primi 10 numeri esagonali sono:
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190
(Il numero 1 non è però raffigurabile come poligono)

Grazie al widget qui a fianco, è possibile fare tre diverse operazioni di ricerca sui numeri esagonali:

Si può verificare se un qualsiasi numero intero è esagonale
È sufficiente inserire un qualsiasi numero intero e se questo risulta essere esagonale si aprirà una finestra con l'immagine della raffigurazione esagonale del numero stesso. L'immagine può essere salvata sul proprio PC cliccandoci sopra con il tasto destro del mouse e scegliendo dal menù la voce "Salva immagine con nome".

Si può calcolare quale sia l'N-esimo numero esagonale
Considerando che il primo numero esagonale è l'uno, con questa funzione di ricerca è possibile sapere, quale sia (ad esempio) il ventesimo numero esagonale. In pratica si tratta di voler sapere a quale numero esagonale corrisponde una certa posizione "ordinale" nella serie dei numeri esagonali. Anche per questa funzione verrà visualizzata l'immagine "esagonale" del numero nella posizione cercata, immagine salvabile sul PC con lo stesso procedimento sopra descritto.

Si possono trovare tutti i numeri esagonali compresi in un intervallo di numeri interi
Anche questa funzione di ricerca è molto semplice, è sufficiente inserire nel primo campo il numero da cui si vuol partire e nel secondo il limite a cui si vuole arrivare. Al click del pulsante "Calcola" si aprirà una finestra contenete l'elenco dei numeri esagonali cercati. È possibile salvare l'elenco su un file di testo semplicemente selezionando tutti i numeri e cliccandoci sopra con il tasto destro del mouse. Non rimane che scegliere dal menù la voce "Copia" ed incollare l'elenco memorizzato su un qualsiasi file di testo (es: TXT, DOC...)