Disegno o costruzione?

Gli elementi si relazionano tra di loro rispettando regole matematico-geometriche

Condividi

Strumenti da disegno per le costruzioni geometriche

Esiste una differenza sostanziale? Sembra proprio di si! Wikipedia ci dice che con il termine costruzione geometrica si indicano l’insieme di operazioni di disegno finalizzate a risolvere molteplici problemi geometrici. Da questa prima definizione possiamo già intuire che le operazioni di disegno sono solo una parte del processo di costruzione geometrica la quale invece implica che ad ogni singolo segno disegnato sia associato un significato spaziale, un significato geometrico. Non solo, in una costruzione geometrica, gli elementi disegnati si relazionano tra di loro rispettando regole matematico-geometriche.

Ci avete capito qualcosa? Io poco!
Proviamo a semplificare al massimo i concetti e facciamoci aiutare da qualche esempio concreto. Intanto io introdurrei subito il concetto di “strumenti da disegno”.  Quali sono gli strumenti che ci aiutano quando vogliamo fare un disegno geometrico? Foglio da disegno, matita, riga, compasso, squadrette, goniometro, curvilineo … insomma, la nostra bella cartellina trasparente di Ed. Tecnica super attrezzata (ah! Non dimenticate la gomma. Indispensabile!).

Utilizzando questi strumenti siamo in grado di fare disegni geometrici. Tracciamo qualche punto, delle rette, misuriamo un angolo, puntiamo il compasso e lo facciamo ruotare fino a disegnare una circonferenza … e così via. Bene, stiamo disegnando. Non facciamo altro che riprodurre sul foglio enti geometrici . Volendo siamo in grado di disegnare anche qualche figura geometrica. Ok, allora facciamolo! Andiamo sul semplice e disegniamo un quadrato. Quanti modi conoscete per disegnare un quadrato? Direi diversi.

Allora, sappiamo che il quadrato è una figura geometrica, ma per non partire in modo del tutto sprovveduto e disorganizzato, dobbiamo rispondere ALMENO  ad una delle due domande:

  1. Quali sono gli elementi che compongono un quadrato?
  2. Che cos’è un quadrato?

Cominciamo ad esempio scegliendo di  rispondere alla prima domanda: in un quadrato ci sono 4 punti, 4 segmenti e 4 angoli (dimenticato qualcosa?). Perfetto, sembra che abbiamo tutti i dati per poter disegnare la nostra figura geometrica.

 

Rispondendo alla prima domanda, nell’applet,  ho disegnato il quadrato n°1. Gli elementi elencati nella risposta ci sono tutti  quindi si può dire che ho disegnato correttamente il mio quadrato? Andiamo a verificarlo interagendo con l’applet di fianco. Proviamo a muovere uno dei  4 punti che formano i vertici del quadrato n°1 (test di trascinamento).
Ops! Quello che inizialmente sembrava un quadrato perfetto in realtà non lo è in quanto ha si gli elementi che normalmente compongono un quadrato, ma questi elementi sono tutti “liberi”; non esiste nessuna relazione tra i vari elementi. Interagendo con i punti (e quindi applicando delle trasformazioni) il mio quadrato si trasforma in un poligono irregolare ogni volta diverso. Non ho quindi costruito un quadrato, bensì mi sono limitato a disegnare 4 punti e 4 segmenti (gli angoli si creano di conseguenza).

E arriva Lui, il ragazzo sveglio: “Ok, però hai fatto il furbo! Io dico che l’errore sta nello scegliere di  rispondere alla prima domanda anziché alla seconda. Quello che dobbiamo sapere prima di iniziare a disegnare è cosa sia realmente un quadrato: che tipo di figura geometrica è!”.
E bravo Lui! Geometricamente mi interessa davvero poco sapere da quali elementi è composta una data figura per poterla costruire correttamente, quello che invece è davvero necessario è conoscerne le caratteristiche geometriche. La cosa è semplice: bisogna prima aver studiato (almeno un po’) le classificazioni delle diverse figure geometriche. Se lo abbiamo fatto (studiato intendo) sapremo sicuramente come classificare un quadrato ed in base a quale “famiglia geometrica” appartiene,  conosceremo anche le sue caratteristiche.

OK, abbiamo stabilito che va data una risposta corretta alla seconda domanda: che cos’è un quadrato? Domanda che a questo punto possiamo riformulare meglio: che tipo di figura geometrica è il quadrato? (la prima domanda la cestiniamo e svuotiamo anche il cestino per essere sicuri di non utilizzarla più).
Chi vuole rispondere?
Buoni, buoni, ho capito: secondo voi un quadrato appartiene alla famiglia dei quadrilateri. Si può accettare come risposta, ma non vi sembra che l’informazione sia incompleta.? Anche il quadrato n°1 è un quadrilatero (ha 4 lati), ma abbiamo visto che la sua costruzione non è corretta.
Diamo qualche dato in più: che ne dite dei quadrilateri con una coppia di lati paralleli? Esistono, tranquilli che esistono. Provate ad interagire con il quadrato n°2. Cosa succede? I punti si muovono tutti e 4 (sono quindi tutti “liberi”) ma questa volta il lato inferiore e superiore rimangono sempre paralleli  tra loro (quadrilatero con una coppia di lati paralleli). E che tipo di figura si viene a formare? Sembrerebbe un trapezio e in condizioni particolari diventa addirittura un rettangolo! Quindi anche il quadrato n°2 non è stato costruito correttamente.

Dobbiamo stare attenti, va bene rispondere alla seconda domanda, ma va fatto in modo corretto e soprattutto completo. Il quadrato può essere considerato un quadrilatero ma con delle particolarità in più.
E ritorna Lui, il ragazzo sveglio: “Io, io. Il quadrato è un parallelogramma, quindi è sì un quadrilatero ma con DUE coppie di lati paralleli”. Molto bene, siamo quindi tutti d’accordo che il quadrato è un parallelogramma? Se siete d’accordo rifacciamo una visitina all’applet e questa volta andiamo ad interagire con i punti del quadrato n°3. Cosa notiamo? “Intanto i punti liberi questa volta sono solo 2 e comunque la figura si trasforma in un rombo. E’ sbagliata anche questa terza costruzione”. Osservazioni corrette.
 Volendo precisare: in questa costruzione sono stati applicati dei vincoli che permettono alla figura di rispettare SEMPRE il criterio di parallelismo tra due coppie di lati. E’ una costruzione corretta per un parallelogramma ma non per un quadrato. Questo esempio dovrebbe farci capire che il quadrato appartiene alla famiglia dei parallelogrammi perché ha i lati a due a due paralleli, ma ha altre caratteristiche geometriche che lo caratterizzano e lo differenziano da un parallelogramma generico. Quali sono queste caratteristiche?

 

I Quadrati fanno parte della famiglia dei quadrilateri generici, ma in particolare sono dei parallelogrammi che però hanno gli angoli sempre congruenti (semplificando in questo contesto:uguali) e di conseguenza anche i suoi lati sono congruenti. Un po’ lunga come definizione, ma rispecchia il percorso logico che abbiamo fatto fino a qui e lo completa con tutti i dati fondamentali che corrispondono alle reali caratteristiche geometriche della figura che abbiamo preso in esame. In seguito vedremo che il quadrato lo si può definire anche un poligono regolare, in quanto figura geometrica avente tutti i lati e gli angoli uguali.

OK, ci manca l’ultima costruzione. Un nuovo salto verso l’applet ed andiamo a verificare interagendo con i punti del quadrato n°4. Notiamo che qualsiasi trascinamento-trasformazione applichiamo ai punti della figura, questa rimane sempre un quadrato perfetto. “E ci lasci così? Non ci spieghi come l’hai costruito?”. Vedremo in seguito nel dettaglio come costruire correttamente un quadrato.

In questo momento, quello che ci interessava era poter dire di aver costruito e non semplicemente disegnato un quadrato
.

Per completezza di informazione:
è stato preso l’esempio del quadrato, ma il percorso logico che abbiamo seguito poteva benissimo essere applicato ad altre figure o comunque a costruzioni  con relazioni matematico-geometriche. L’obbiettivo era cercare di capire la differenza tra le due azioni “disegnare” e “costruire” ed il quadrato ci ha solo dato una mano.

 

Quindi, concludendo,  possiamo dire che la differenza tra disegnare una figura geometrica o costruirla sta tutta nelle informazioni iniziali che abbiamo riguardo alla figura stessa. Le informazioni possono essere completamente assenti, non corrette, corrette ma incomplete ed infine (il nostro obbiettivo) corrette e complete. Bene, se abbiamo le informazioni corrette e complete possiamo “armarci” dei nostri strumenti da disegno e cominciare a costruire la figura geometrica. Dovremmo solo non limitarci a disegnare enti geometrici, ma trasferire sul foglio anche le informazioni in nostro possesso. E quali sono queste informazioni? Sono quelle che apprendiamo durante lo studio della Geometria di base, quelle che ci dicono quali sono le relazioni matematico-geometriche tra i diversi enti, quelle che ci permettono di trasformare un ammasso di enti “liberi” in una figura geometrica con caratteristiche ben definite, una figura geometrica che contempla relazioni tra i singoli enti che la compongono.

 

E tu cosa vuoi fare? Vuoi limitarti a disegnare o vuoi imparare a costruire?
Se sei interessato continua nella lettura anche perché tra un po’ ti svelerò che puoi anche “parcheggiare” la cartellina trasparente con i tuoi strumenti da disegno. Non ti servirà nessun foglio, matita..e/o altro. Andiamo sul digitale e ti presenterò “un amico” che ti permetterà di fare tutte le costruzioni geometriche che vuoi, non solo, ti permetterà di giocare ed interagire con le costruzioni create (quello che hai fatto con gli applet dei quadrati è solo un assaggio)