Briciole ... tra i numeri

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Pubblicato il 10/03/2013 su Matem@ticamente
 

Qualche settimana fa mi sono imbattuto in una dimostrazione senza parole della quadratura del cerchio. Nel suo post G. Filippelli aveva inserito semplicemente un’immagine statica senza aggiungere nessuna spiegazione. Era chiaro l’intento di spingere il lettore a comprendere autonomamente il procedimento di tale costruzione geometrica. Così ho voluto provare non solo ad aggiungerci le parole, ma anche ad animare il cerchio rotolante (grazie a GeoGebra).
Questo il risultato:

Quadratura del cerchio (rotolante)

Dimostrazione animata della quadratura del cerchio

Per le parole, ovvero la dimostrazione, un click per espandere

Immaginiamoci di riportare il tutto su un piano cartesiano, e diamo un nome a qualche punto importante:

Dimostrazione senza parole della quadratura del cerchio

Come potete vedere, l’origine è fissata sul punto A, che avrà coordinate (0, 0).

Calcoliamo ora le coordinate degli altri punti:

  • P1 corrisponde alla posizione in cui si troverà il punto P al termine della rotazione (che ricordiamo essere di 180° gradi precisi). Il segmento AP1 sarà quindi pari a metà della circonferenza iniziale, da cui  , dove  è il raggio della circonferenza iniziale.

  • B invece è la proiezione dell’estremo punto destro (quadrante) della circonferenza finale. Essendo la rotazione di 180°, P1B sarà pari al raggio della circonferenza, da cui

  • M è invece il punto medio fra A e B, che avrà quindi coordinate

Il punto fondamentale è però C, che risulta essere l’intersezione fra il prolungamento di O1P1 e la semicirconferenza  di centro M passante per A e B (punteggiata in figura).

L’equazione della retta O1P1 è   

L’equazione della circonferenza  è   

Intersecando  con la retta O1P1, otteniamo le coordinate del punto C (e anche del suo simmetrico rispetto all’asse X, che però ignoriamo):

Le coordinate del punto  ci permettono di calcolare immediatamente la lunghezza del lato del quadrato, che è appunto

A questo punto il gioco è fatto: l’area della circonferenza iniziale è  e quella del quadrato è ; il cerchio è stato quadrato.

 

Tentiamo adesso una dimostrazione non analitica.

Per le stesse ragioni della dimostrazione precedente, che non andiamo quindi a ripetere, abbiamo:

Con queste informazioni ci andiamo a calcolare MP1 come differenza dei segmenti MB e P1B:

Il segmento MC è un altro raggio della circonferenza punteggiata; ha quindi lunghezza pari a .

Consideriamo ora il triangolo rettangolo MP1C:

Per cui, il quadrato e il cerchio iniziale hanno la stessa area, pari a .

 

L’argomento quadratura del cerchio mi ha sempre affascinato soprattutto per i risvolti storico-matematici che nel corso dei secoli si sono susseguiti e per le scoperte (vedi ad esempio la lunga e gloriosa storia del Pi greco) che questo percorso ha comportato, avendo “catturato ed impegnato” le migliori menti matematiche di tutti i tempi. Così ho provato a scriverne qualcosa.

Gli argomenti trattati dall’articolo che segue sono:

  1. Perché è impossibile la quadratura del cerchio?
  2. Modi di dire: “far quadrare il cerchio
  3. Approssimazione accurata: un atteggiamento mentale propositivo
  4. Approssimazioni della quadratura del cerchio con riga e compasso
  5. Prova a quadrare il tuo cerchio (approssimativamente)

 

Sulla quadratura del cerchio e la trascendenza di Pi greco

Approssimazione accurata: un atteggiamento mentale propositivo

 

Era il 1882, l’anno in cui arrivò la “mazzata” per tutti coloro che ancora speravano di poter far quadrare un cerchio. In quell’anno, il matematico tedesco Ferdinand von Lindemann prima dimostrò che se Pi greco () fosse stato trascendente la quadratura del cerchio sarebbe stata impossibile e poi… poi dimostrò la trascendenza di questa costante, ergo, arrivò un NO definitivo: “non c’è e non ci sarà mai un modo, con numero di passi finito e utilizzando solo riga e compasso, di trovare esattamente Pi greco”. Che equivale a dire che non si può assolutamente quadrare un cerchio utilizzando solo riga e compasso.

Perché è impossibile la quadratura del cerchio?

 

Animazione della rettificazione della circonferenza

Il numero Pi greco () non è apparso dal nulla, ma è nato dalla semplice osservazione. Il rapporto o relazione tra la lunghezza di una circonferenza  ed il suo diametro  è una costante:

Oppure, se si preferisce:

La semplice osservazione ci dice che questa relazione è un numero fisso, infatti quanto più grande è il diametro  di un cerchio, tanto più grande è in proporzione la distanza percorsa da un punto dello stesso per compiere un giro. Vale a dire:

Lunghezza di una circonferenza / diametro della stessa = costante ≈ 3,14

Oppure, in termini algebrici, essendo  la lunghezza della circonferenza ed  il suo raggio (il diametro  è il doppio di ):

Il segno ≈ si legge “circa uguale” e la maggior parte della storia di  risiede proprio nel ridurre l’approssimazione al minimo possibile aggiungendo di volta in volta decimali alla destra di 3,14.

Il numero  non solo è la relazione costante fra la lunghezza della circonferenza ed il suo diametro, ma è anche il doppio della relazione costante fra l’area di un cerchio ed il quadrato in esso inscritto. Così, come ci insegnano a scuola:

che è il valore dell’area del cerchio di raggio  

Formula area del cerchio

E siccome l’area del quadrato equivale esattamente al suo lato elevato al quadrato, una elementare applicazione del teorema di Pitagora ci porta ad ottenere:

Però, chi ci assicura che questa costante, questo  che proviene dall’area sia lo stesso  che appariva nella lunghezza? Senza dubbio è lo stesso , però, al contrario di quanto impariamo a scuola, non è così evidente che le due costanti coincidano. Si è dovuto attendere il genio di Archimede per esserne certi.

Ringraziamo quindi Archimede e diamo per appurato che  sia una ed una sola costante che interviene nel calcolo sia dell’area che della lunghezza di una circonferenza.

Torniamo quindi al problema della quadratura del cerchio:
nel corso dei secoli, almeno fino al fatidico 1882, tutti gli studiosi di geometria hanno tentato di quadrare il cerchio, il che equivaleva a costruire esattamente  con riga e compasso. Infatti, dal punto di vista dell’algebra, “quadrare” un cerchio di area  significa cercare un quadrato di lato  tale che:

Ovvero, bisogna cercare un  tale che

Il che equivale a costruire  con riga e compasso. Se si ha , una elementare costruzione anche con riga e compasso ci porta a .

Rappresentazione della radice di Pi greco

Cosicché, se avessimo un determinato , avremmo una , e otterremmo la quadratura del cerchio. Ma questo è impossibile perché, come ha dimostrato Ferdinand von Lindemann (e torniamo al 1882),  è un numero trascendente.

Un numero trascendente è un numero non algebrico, ovvero, un numero che non è dato dalla soluzione di un’equazione polinomiale (o algebrica) a coefficienti interi. In  matematica è dimostrato che ogni numero costruibile secondo le regole della sola riga e compasso è obbligatoriamente un numero algebrico. Di conseguenza, se  è un numero trascendente, quindi non algebrico, risulta impossibile costruirlo con il solo ausilio di riga e compasso.  

 

Modi di dire: “far quadrare il cerchio

Quadratura delle ruote di una biciclettaPerché allora ancora oggi si usa la frase “far quadrare il cerchio(o simili) riferendosi ad un problema di qualsiasi genere che dovrebbe essere risolto? Chi lo fa è consapevole che (dal 1882) usando questa frase è come se già ammettesse in partenza che il problema analizzato è irrisolvibile?
Probabilmente alcuni non conoscono il vero significato “matematico” della frase o fanno semplice retorica. Altri invece la usano consapevolmente riferendosi ad un problema complesso al quale si cerca di dare “la miglior soluzione possibile”, un’approssimazione tanto più accurata quanto maggiore sarà l’impegno profuso e le conoscenze di base messe in campo per la risoluzione. Contrapporre al termine “impossibile” la parola “approssimazione” porta ad un atteggiamento attivamente propositivo nei confronti dei problemi che comunque vale sempre la pena (azzarderei bisogna) tentare di risolvere. Ecco, io sono con questi analizzatori realistici che ogni giorno cercano di far quadrare al meglio la propria vita e magari anche quella di qualcun altro. Quindi, rimanga pure l’uso della frase “far quadrare il cerchio”, purché consapevole del reale significato matematico e purché sinonimo di ricerca ed attuazione della miglior soluzione possibile.

Ora, sulla quadratura del cerchio e sulla trascendenza di Pi greco, esistono talmente tante informazioni, tanti libri e tante pagine web che non sarò certo io ad aumentare il rumor sull’argomento (informatevi da chi ne sa realmente). Dico solo che quello che era inizialmente un problema dei matematici antichi, ovvero costruire una superfice quadrata equivalente ad una circolare, derivava da un problema reale: misurare le aree circolari (terreni, costruzioni…). Non è stata l’invenzione un po’ masochista di qualche matematico che ancora oggi (ovunque potrebbe trovarsi) se la ride a crepapelle. Le aree circolari erano (e sono) una bella rogna e l’idea di cercare un’equivalenza con le superfici quadrate fu sicuramente una “genialata” mirata ad una semplificazione necessaria del problema, oltre che il tentativo di superare l’inesattezza di un’approssimazione dovuta ad una costante che empiricamente risultava sempre presente, ma che sfuggiva a qualsiasi costruzione geometrica o evidenziazione algebrica.

 

Approssimazione accurata: un atteggiamento mentale propositivo

Mettere in moto il cervelloUn'approssimazione è una rappresentazione di una qualche grandezza che, pur essendo fatta in modo inesatto, è tuttavia abbastanza precisa per poter essere di una qualche utilità pratica. Benché il concetto di approssimazione si applichi prevalentemente ai numeri, è anche frequentemente applicato ad altre entità come ad esempio, funzioni matematiche, forme geometriche e leggi fisiche.

L'uso delle approssimazioni è giustificato dal fatto che spesso l'incompletezza delle informazioni disponibili non consente l'uso di modelli e rappresentazioni esatte. Inoltre molti problemi e fenomeni del mondo fisico sono o troppo complessi per essere rappresentati con espressioni analitiche, o addirittura impossibili da modellare. Inoltre, anche quando una rappresentazione analitica è nota, a volte può essere conveniente ai fini pratici adottare rappresentazioni approssimate, allo scopo di ridurre la complessità del problema.

E nel caso specifico della quadratura del cerchio o della rettificazione della circonferenza può essere utile adottare l’atteggiamento mentale/matematico dell’approssimazione più o meno accurata? A questo lascio rispondere voi. Io mi sono già esposto e credo sia chiara la mia posizione, soprattutto viste le innumerevoli evoluzioni matematiche (e non solo) che la ricerca dei decimali di  ha portato nel corso dei secoli. E sì, perché mentre alcuni pazzi irriducibili continuavano a cercare decimali per  e noi ci chiedevamo se fosse davvero il caso di impegnare tante risorse anche dopo il 1882, il  ed i suoi segreti ha portato a nuove scoperte nel campo scientifico. Poi c’è il discorso altrettanto importante dell’atteggiamento mentale dello scienziato che non si pone mai limiti e naviga tra i meandri degli infiniti matematici con la speranza di trovare prima o poi nuove e sorprendenti sorprese.

Se poi volete per forza una giustificazione materiale ai "millemila" milioni di cifre decimali di , si può parlare dell’indiscutibile utilità che  e i suoi decimali hanno nel mettere alla prova il funzionamento di un super-computer. Per testarli, a questi “mostri” va dato un compito difficile da compiere e risalire tramite il calcolo ad un enorme numero di decimali di  confrontandoli con una lista data è sicuramente un compito arduo che li mette a durissima prova.

Ma non solo i computer possono essere testati. Utilizzando ad esempio la ricerca di nuove approssimazioni grafiche della quadratura o rettificazione, possiamo provare a sfidare noi stessi. OK, l’esatta quadratura è impossibile, ma la ricerca di una buona approssimazione può comunque essere stimolante e magari anche utile. Giochiamo comunque sempre con la riga ed il compasso e lasciamo l’algebra, i limiti ecc … a chi lo fa di mestiere.

 

Approssimazioni della quadratura del cerchio con riga e compasso

Cominciamo da una prima costruzione davvero semplice che ha un’approssimazione di  con errore pari a 0.1416 (esattamente la parte decimale di ) ed un’approssimazione dell’area del quadrato pari al 4,507% dell’area del cerchio. E’ chiaramente un primo esempio di approssimazione, sicuramente poco accurata, ma comunque un inizio… Vedremo man mano approssimazioni più accurate con errori molto più bassi.

Approssimazione semplice della quadratura del cerchio

 

Proseguiamo con una seconda approssimazione, questa volta di un anonimo ( asso50 ) che ha caricato un video su YouTube grazie al quale sono risalito alle varie fasi della costruzione. Ho rifatto l’intera costruzione con GeoGebra per verificare che realmente siano state rispettate le “regole della riga e compasso” ed il risultato dell’approssimazione non è dei migliori, ma è apprezzabile il tentativo: abbiamo infatti un  con errore pari a 0.2059

Approssimazione di un anonimo della quadratura del cerchio

 

Credo si sia ormai capito: le costruzioni approssimate che sto presentando non sono di “illustri matematici” ma di semplici appassionati (che non conosco) che hanno voluto mettersi alla prova. Questa scelta è motivata dallo spirito dell’intero articolo, che vuole mettere in risalto l’importanza del processo di approssimazione quale atteggiamento mentale propositivo difronte a problemi più o meno complessi.

Passiamo alla costruzione di B. Montanari.  Questa terza costruzione ha un’approssimazione di  con errore pari a 0.021. Davvero niente male. Anche qui, con l’aiuto di GeoGebra, ho rifatto l’intera costruzione per accertarmi che fosse “regolare”. Nella gif animata vengono visualizzate solo le fasi più importanti evitando di appesantire la presentazione con le costruzioni “secondarie”, ma garantisco che il risultato finale si può ottenere utilizzando solo riga e compasso.

Approssimazione di B. Montanari della quadratura del cerchio

 

Visto che presentiamo quadrature del cerchio approssimate di sconosciuti appassionati… si, beh, insomma… mi son voluto divertire anche io, Marco Cameriero. Anche la primissima approssimazione presentata è la mia, ma non fa testo visto che serviva solo come introduzione all’argomento. Quella che segue è una costruzione rigorosamente con solo riga e compasso che porta a determinare un valore di  con errore pari a 0.0338 ed un’approssimazione dell’area del quadrato pari al 1,0762%.

Approssimazione di Marco Cameriero della quadratura del cerchio

 

Si potrebbe andare avanti con altre approssimazioni di altri appassionati che comunque, se vogliono che la loro costruzione venga inserita in questo breve elenco, possono contattarmi.

Io direi a questo punto di fare un sostanziale salto di qualità e per farlo non vi presento una vera e propria quadratura del cerchio, ma una costruzione con riga e compasso che approssima ottimamente la rettificazione della circonferenza. A questo punto dell’articolo dovremmo ormai sapere che quadrare un cerchio o rettificare una circonferenza sono due facce di uno stesso problema.

La costruzione che segue è del gesuita Adam Kochansky (1631 –1700) e porta ad uno strabiliante risultato, ovvero determina un valore di  con errore pari a 0.0000593149.

Approssimazione della rettificazione del cerchio da parte di Kochansky


Questa costruzione merita un maggiore approfondimento. E’ strabiliante come da una costruzione particolarmente semplice nell’esecuzione venga fuori un risultato tanto “accurato”.

Per la verifica algebrica, un click per espandere

Costruiamo una circonferenza di raggio  tangente agli assi, che chiamiamo . Il suo centro O avrà coordinate  e gli atri punti saranno così definiti: , .

Approssimazione della rettificazione del cerchio da parte di Kochansky

 

A questo punto, troviamo le coordinate del punto C: questo è l’intersezione fra la circonferenza originale e quella di centro B e raggio  (che chiameremo ).

Dei due punti che risultano dall’intersezione delle due circonferenze, prendiamo il punto con l’ascissa minore, che corrisponde al punto C segnato nella figura.

A questo punto troviamo OE, asse del segmento BC:

Intersechiamo OE con l’asse x per trovare le coordinate del punto E:

Il punto H corrisponde alla traslazione del punto E di una lunghezza pari a , quindi le sue coordinate saranno:

A questo punto troviamo la lunghezza del segmento AH:

Il valore   si può approssimare a . Se accettiamo questa approssimazione, abbiamo costruito un segmento di lunghezza approssimativamente uguale alla metà della circonferenza .

 

Prova a quadrare il tuo cerchio (approssimativamente)

Divertiti anche tu. Prova a costruire la tua approssimazione della quadratura del cerchio (o rettificazione della circonferenza); ricorda però che le regole sono quelle della riga ed il compasso di Euclide.  Ti lascio l’applet di GeoGebra perfettamente funzionante e con tutti gli strumenti abilitati. Fai la tua costruzione, salva il file ggb di GeoGebra e mandamelo qui. Penserò poi io ad inserire nell’articolo una gif animata della tua costruzione con il tuo nome ed un link alla pagina web che mi indicherai. Se hai difficoltà con GeoGebra puoi mandarmi una spiegazione dettagliata con relative immagini della tua quadratura, utilizzando il formato di file che preferisci.

Verranno pubblicate solo costruzioni con un errore di  non superiore a 0,1 (valore di  almeno 3,1… ), questo per stimolare maggiormente ed evitando contemporaneamente pubblicazioni che potrebbero risultare probabilmente poco utili sia didatticamente che praticamente.

Per effettuare velocemente una verifica del valore di  risultante dalla tua costruzione puoi usare questa semplice formula:

 

Java non risulta essere installato.

GeoGebra ha bisogno di Java per funzionare.
Clicca qui per scaricare e installare Java

 

In conclusione:
Spero sia chiara l’intenzione di fondo di questo articolo. Ho voluto evidenziare l'importanza dell'approssimazione matematica anche in chiave di un atteggiamento propositivo che bisognerebbe sempre avere nell'affrontare i vari problemi concreti della vita, anche se questi possono sembrarci complessi o impossibili; la quadratura del cerchio e la sua approssimazione possono essere assunti come metafora. E' un invito a provarci comunque sempre mettendoci il massimo dell'impegno. E ai “quadratori di cose”, quelli seri ed intellettualmente onesti, chiedo di fare una modifica al classico modo di dire, questa:
“… far quadrare il cerchio cercando la miglior approssimazione possibile”, un’approssimazione tanto più accurata quanto maggiore sarà il nostro impegno profuso e le conoscenze di base messe in campo per la risoluzione

 

Marco Cameriero

Crediti:

Wikipedia: abbondantemente linkata all’interno dell’articolo

I segreti del Pi greco” di Joaquin Navarro – Mondo matematico - RBA Italia 2011

Le animazioni provengono tutte da costruzioni che ho fatto con GeoGebra e che poi ho trasformato in formato GIF.  I procedimenti di costruzione non miei a cui però ho fatto riferimento, sono stati linkati vicino alla relativa animazione.

 


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Data di pubblicazione: 15/10/2009    Ultimo aggiornamento: 01/12/2013
 
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