Briciole ... tra i numeri

Alcuni dei miei passaggi su blog di natura didattica.
Matematica, scienze, numeri e giochi di logica,
riflessioni, sfide personali e sprazzi di neuroni impazziti.


Questi articoli sono stati ospitati da due dei migliori blog
che trattano matematica e scienze in generale.


Scienze ... giocando o quasi Percorsi di apprendimento scientifico alternativi al manuale scolastico,
favorendo collaborazioni con docenti e alunni di altri contesti
Blog sulla matematica dedicato agli studenti Spazio dedicato alla matematica applicata
con articoli di didattica scientifica e metodologia generale
Visita la sezione DIDATTICA.ndo ed usufrusci delle risorse didattiche a disposizione

Elenco contenuti
Pubblicato il 11/06/2011 su Scientificando


Scuola e Didattica

Quadrati magici Questo mio lavoro sui quadrati magici è stato portato all'attenzione della prestigiosa rivista Scuola e Didattica, dalla prof Annarita Ruberto che si è sbilanciata usando queste parole:
" Il vulcanico Marco si è messo al lavoro, realizzando qualcosa di assolutamente bello e coinvolgente! "
Considerato didatticamente valido, è stato segnalato e pubblicato dal sito della rivista il 20 giugno 2011.
Ne riporto l'incipit:
< " Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi positivi distinti in una tabella quadrata tale che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso numero; tale intero è denominato la costante di magia o costante magica o somma magica del quadrato". Di questo si occupa l'originale lavoro del giovane Marco Cameriero, uno studente che frequenta la II Liceo Scientifico ad Ascoli Piceno, segnalato da Annarita Ruberto [ Scientificando]>



38a edizione del " C a r n e v a l e della Matematica

Carnevale della Matematica Sempre grazie alla segnalazione dalla prof  Annarita Ruberto sul suo blog Scientificando, ha partecipato alla  38a edizione del " C a r n e v a l e della Matematica " ospitato da quelli di Maddmaths!
Questa la presentazione:
< Per chi volesse saperne ancora di più sui quadrati magici, può continuare andandosi a leggersi l'articolo
Anche le tartarughe sanno contare. Strano? No,...Magico
del giovanissimo Marco Cameriero , ospitato nella rubrica “Rassegna Matematica” di Scientificando (un altro dei tanti blog di Annarita).
Il lavoro è molto corposo e contiene elementi assolutamente originali e degni di nota.
Marco ha anche inserito nell'articolo dei giochi interattivi che ha realizzato grazie alla sua perizia di programmatore
>



Ed, inoltre, alcuni siti che hanno apprezzato questo lavoro
e gentilmente hanno voluto segnalarlo:

Math.it
Web 2.0 and Something else
Quadernone blu
In punta di piedi
Scientificando
Il learning network del LTE - Università di Firenze
Questione della decisione



Anche le tartarughe sanno contare

Strano? No, ... Magico

( Quadrati Magici, storia, schemi, trucchi e giochi )



Quadrato magico con costante magica 15

Ma cosa c'è di magico in un quadrato con dei numeri?
Usando le parole di chi si esprime sicuramente meglio di me: "Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi positivi distinti in una tabella quadrata tale che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso numero; tale intero è denominato la costante di magia o costante magica o somma magica del quadrato". Come definizione direi che non è affatto male, se poi ne vogliamo una matematicamente più rigorosa, questa potrebbe fare al caso nostro: "Con il linguaggio della matematica, se n è un intero maggiore di 2, si definisce quadrato magico ogni matrice quadrata di ordine n a valori interi e iniettiva tale che le somme delle entrate di ciascuna delle righe, di ognuna delle colonne e di entrambe le diagonali abbiano lo stesso valore intero". I soliti matematici pignoli, sempre lì a complicarsi la vita alla ricerca della "esatta formulazione".



LO SHU, il primo quadrato magico

(Personale riformulazione, ...a voi libera interpretazione)


Si narra che intorno al 2800 a.C. nell'antica Cina, ai tempi della dinastia Shang, l'imperatore Yu si accorse che una  tartaruga, dopo ogni inondazione del fiume Lo (affluente del fiume Giallo), passava con noncuranza affianco al sacrificio offerto per il dio del fiume e poi tornava in acqua. L'imperatore notò sul guscio della tartaruga alcuni simboli che riuscì ad interpretare placando così la collera del fiume e le ripetute inondazioni.

Lo Shu, il primo quadrato magico
Figura 1

Ma io preferisco questa versione della leggenda:

In un piccolo villaggio della Cina, situato lungo le rive del fiume Lo, secoli e secoli fa, viveva un ragazzino ossuto dagli occhi vispi di nome . Il villaggio viveva di quel po' che la terra donava e che il fiume non "inghiottiva" durante i suoi straripamenti. Gli anziani, ormai da secoli, offrivano sacrifici al dio del fiume Lo Shu (il saggio del fiume Lo), nella speranza che questi contenesse le acque nel suo letto risparmiando i raccolti, ma, nonostante le offerte, il fiume ciclicamente straripava.
Il ragazzo aveva assistito per la prima volta alla forza distruttrice delle acque quando aveva all'incirca 8 anni e da allora, ogni qualvolta l'evento si ripeteva, aveva preso l'abitudine, ad acque ritirate, di percorrere in lungo le rive del fiume alla ricerca di resti del raccolto o comunque di qualcosa da portare al suo anziano nonno. Durante una delle sue passeggiate post-straripamento notò tra i resti "concessi" dal fiume qualcosa che si agitava; si avvicinò e vide uno strano animale che cercava di divincolarsi. Aveva una specie di "corazza" sul dorso nella quale nascondeva sicuramente una testa di cui lui, però, poteva scorgere solo due profondi occhi spaventati. Si fece coraggio e si avvicinò quel tanto che gli permettesse di liberare una delle quattro zampe da un intrecciato arbusto. L'animale, libero, si fermò qualche secondo, poi, timidamente cominciò ad estrarre quella che doveva essere la testa, girò lentamente il collo in direzione del ragazzo e per un attimo i loro occhi si incrociarono. All'improvviso diresse lo sguardo verso il fiume e lentamente, molto lentamente, cominciò a muoversi verso l'acqua. Non si girò più. Intanto il ragazzo guardava l'animale incedere con quell'andatura quasi immobile, fino a vederlo sparire tra gli spruzzi verdastri del fiume.
Raccontò l'accaduto all'anziano nonno che, dalla descrizione fatta, riconobbe subito quella che doveva essere stata una tartaruga. "E' un animale sacro che porta buoni auspici a chi ha la fortuna di incontrarlo", disse il vecchio con voce sommessa.
Quella notte il ragazzo non riuscì a dormire, aveva fissa davanti agli occhi l'immagine dell'animale e in particolar modo il suo dorso. Non aveva mai visto nulla di simile.
Trascorse circa un anno e nuovamente il fiume straripò. Nonostante fosse passato del tempo, il ragazzo non aveva dimenticato nè l'animale, nè il suo strano guscio. Corse al fiume nella speranza di rivedere la tartaruga e lei era lì, ferma, sembrava lo stesse aspettando. La testa dell'animale era completamente fuori dalla guscio e si ergeva fieramente dritta all'estremità di un collo rugoso. Guardava verso il ragazzo che nel frattempo, un po' intimorito, gli andava incontro. I due vennero a contatto e la tartaruga acconsentì a farsi accarezzare. Erano lì, insieme, come due vecchi amici ed ognuno godeva della compagnia dell'altro. Durante quei minuti, il ragazzo notò che il dorso della tartaruga, che tanto lo aveva colpito la prima volta, era cambiato, c'era qualcosa di diverso.
Delle macchie a forma quasi circolare si ripetevano in modo confuso, ma tra loro, erano comunque molto simili.
Era giunto il momento di separarsi, la tartaruga cominciò a guardare verso il fiume, il ragazzo capì e la lasciò andare. Ancora una volta sparì tra le acque.
"Nonno. E' tornata", gridò il ragazzo rientrando a casa. Riferì di quelle strane macchie confuse, del fatto che non c'erano la prima volta, ne era sicuro. L'anziano  cominciò a pensare che forse quelle macchie potessero essere un segno, un messaggio,  e che la stessa tartaruga, che il suo ragazzo aveva incontrato, poteva essere una viva manifestazione del dio del fiume, Lo Shu.
"Io credo che il fiume stia cercando di dirti qualcosa. La prossima volta verrò con te".
Non dovettero aspettare molto. Infatti, dopo un altro anno circa, nuovamente le acque del fiume strariparono, distrussero il raccolto e poi si ritirarono. Nonno e nipote si diressero sulle rive e la tartaruga era nuovamente lì ad aspettare il suo giovane amico. Si avvicinò per primo il ragazzo e, mentre questi accarezzava dolcemente la testa dell'animale, pian piano anche l'anziano arrivò nei pressi. Si tenne a distanza sufficiente per poter vedere bene il dorso della tartaruga ed incise su un pezzo di corteccia una riproduzione di quelle strane macchie. Dopo qualche minuto, la tartaruga tornò alle sue acque.
Quella sera, nel villaggio, soprattutto tra gli anziani, la tensione si fece palpabile e le discussioni in cerca di una spiegazione furono numerose, ognuno avanzava ipotesi e formulava congetture cercando di comprendere il messaggio nascosto di quelle strane macchie circolari che sembravano poste in modo caotico e senza alcun senso. Continuò così per diverse lune. Il ragazzo, nel frattempo, fremeva dalla curiosità; perchè era così importante per gli anziani riuscire ad interpretare le macchie sul guscio della sua amica tartaruga?
Ricordava molto bene quello che aveva visto e lo riprodusse sul vecchio tavolo della cucina, ma al contrario del nonno, che sulla sua corteccia aveva inciso solo le macchie, cominciò col tracciare alcune linee che sembravano dividere il dorso corazzato dell'animale. Dopo le linee, che si intrecciavano suddividendo la superficie in diversi spazi, cominciò a disegnare le macchie cercando di posizionarle così come ricordava. Ne venne fuori una riproduzione abbastanza "somigliante" dell'animale e del suo guscio tanto discusso (figura 1).
Nel disegnare le macchie aveva notato che potevano essere approssimate tutte ad un unico oggetto di forma circolare e che somigliavano molto alle lisce pietre del fiume, sì, proprio quelle che teneva nel suo sacchetto di pelle di capra e con cui spesso giocava insieme ad i suoi amici. Pensò così di fare un gioco: posizionare su di ogni macchia una delle sue "preziose" pietre. Per questo gioco era necessaria una certa destrezza e soprattutto una mano ben ferma perchè le pietre, rotonde e lisce, tendevano a rotolare e a non rispettare la posizione assegnata. Con un po' di pazienza ed una sana determinazione, finalmente riuscì a posizionarle tutte. Fiero, guardò il suo "capolavoro". Poi, rovistando nel suo sacchetto notò che gli erano rimaste solo
五 (5) pietre e pensò di essere stato fortunato ad averne avute in numero sufficiente per completare il gioco. Non ricordava però quale fosse la quantità che aveva sempre avuto nel sacchetto, così decise di contarle, ma, non volendo spostare le pietre posizionate sulle macchie, cominciò il conteggio indicando con il dito, senza toccare:
一 (),
二 (èr), 三 (sān), 四 (), 五 () ... , ma ogni volta perdeva il segno e doveva ricominciare. Le pietre erano molte, troppe e tutte insieme. Come fare?
Girando intorno al tavolo, cercava di trovare la posizione che gli permettesse la visuale migliore, quella da cui poteva vedere bene tutte le pietre in modo da non perderne il conto. Dopo qualche giro notò che le linee che aveva disegnato, intersecandosi, creavano degli spazi ben definiti e che in ognuno di essi c'era una certa quantità di pietre.
Pensò: "Invece di contarle tutte insieme potrei contarle a gruppi, così come sono posizionate negli spazi, mi segno le diverse quantità ed alla fine posso calcolare la somma completa".
Era in gamba il ragazzo e soprattutto, grazie agli insegnamenti del nonno, sapeva contare. Per lui contare le cose era una forma di gioco che spesso faceva, soprattutto durante le interminabili giornate di pioggia che lo costringevano a rimanere da solo in casa; si divertiva nel farlo.
Disegnò nuove linee uguali a quelle del suo gioco-tartaruga, contò le quantità nei diversi spazi e segnò tutto nella nuova "scacchiera". Per facilitare la somma finale, diligentemente, incise anche alcune somme parziali
.
Questo fu il risultato:

Il quadrato magico Lo Shu con numeri cinesi costante magica righe
Figura 2

Nell'appuntare le somme parziali delle pietre contate, notò che queste si ripetevano. Aveva calcolato i parziali degli oggetti che si trovavano sulla stessa linea orizzontale: tre parziali tutti con risultato uguale a
五 (15) (figura 2).
"Strano" pensò. Rifece i suoi conti, ma non erano errati, no, i risultati era corretti. Provò allora a ripetere la stessa operazione, ma questa volta sommando le pietre che si trovavano lungo la stessa linea verticale. I risultati non erano cambiati:
tre parziali tutti con risultato uguale a 五 (15). Spalancò la bocca e rimase in quello stato per alcuni minuti. Sbalorditivo! Qualunque linea tracciata lui seguisse nel calcolare le somme di tre gruppi di pietre, magicamente, appariva quel 五 (15). Non poteva essere una coincidenza. Incise tutti i diversi parziali calcolati sulla nuova scacchiera (Figura 3) e corse a chiamare il nonno.
Entrati in casa, nonno ed anziani, si trovarono di fronte alle incisioni del ragazzo e quello che si presentò ai loro occhi era più o meno questo:

Il quadrato magico Lo Shu con numeri cinesi costante magica righe colonne diagonali
Figura 3

Gli anziani capirono subito che quello che avevano davanti era la risposta alle loro domande:
Lo Shu aveva parlato ed il numero
五 (15) era la chiave del messaggio. Il dio del fiume gli stava dicendo che五 (15) doveva essere il numero di sacrifici animali necessario per placare la sua collera. Questo sembrava essere il "desiderio" del saggio fiume e loro avrebbero dovuto esaudirlo.
Il nonno diede un bacio in fronte al ragazzo ed, insieme agli altri anziani, cominciò i preparativi per  la cerimonia sacrificale. A quel punto il ragazzo scoppiò in lacrime. "State sbagliando tutto, non è questo quello che vuole Lo Shu", gridò verso gli anziani. "Lo Shu non vuole i vostri sacrifici, i vostri animali legati e lasciati lì a morire; per questo si è adirato, non per altro. L'ho visto nei suoi occhi quando la sua zampa era rimasta intrappolata dagli arbusti. Lui, con le sue acque ci da la vita, non vuole morti inutili e stupide. Ci sta dicendo che Lui è un fiume e come tale, vuole potersi "gonfiare e "ritirare" a suo piacimento, senza doversi preoccupare dei nostri raccolti. Ci sta dicendo di proteggerli i nostri raccolti e di non dare a lui la responsabilità delle distruzioni, ma alla nostra testardaggine ed ignoranza, al nostro poco rispetto del suo essere Fiume. Ci consiglia di ergere, a protezione delle coltivazioni, difese alte
五 (15)  unità. Questo è il suo messaggio".
Alcuni anziani cominciarono ad inveire contro il ragazzo, allora il nonno cominciò ad agitare minacciosamente il suo vecchio bastone verso di loro e ... "Guai a voi", tuonò. "Lo Shu ha parlato e lo ha fatto al ragazzo, non a noi. A lui ha permesso di essere avvicinato, a lui ha dato il messaggio, a lui ha permesso di interpretarlo. Faremo quello che il figlio del fiume ci dice".
L'argine fu eretto,
五 (15)  unità, così come Lo Shu, la saggia tartaruga del fiume, aveva calcolato.
Il fiume continuò a "gonfiarsi", ma gli straripamenti avvenivano solo dove l'argine non era stato eretto, dove non c'erano coltivazioni o abitazioni, dove la forza dello Lo shu poteva liberarsi e scaricarsi come la sua natura esigeva. Da allora il villaggio potè godere dei frutti delle coltivazioni e nessun animale venne più sacrificato. Cominciò una nuova epoca, ricca e felice. E il ragazzo? Il figlio del fiume
fu celebrato come meritava e ovunque fu incisa la sua effige, quella scacchiera magica che aveva salvato gli abitanti del villaggio.
Il ragazzo era felice, molto felice, soprattutto perchè finalmente era riuscito a risalire alla quantità delle sue "preziose" pietre. E sì, perchè la magia del suo quadrato, la scoperta di quella costante 五 (15), l'importanza di quell'interpretazione, lo avevano "allontanato" dal problema originario: "Quante pietre erano presenti nel sacchetto prima di cominciare a giocare con la scacchiera?". L'emozione della scoperta lo aveva "interrotto" nel suo conteggio globale.
"Allora.
三 (3) parziali da (15) fanno un totale di 五(45) pietre sul tavolo , più  五(5) rimaste nel sacchetto... 十(50),  avevo 十(50) pietre", questo fu il calcolo che fece.
"Cavolo, un numero che si ripete anche in condizioni diverse,
(15), un sacchetto che torna indietro nel tempo e ti dice che conteneva 十(50) pietre. Questa si che è Magia! La magia dei Numeri".   
Chiamò la sua scacchiera, il suo gioco-tartaruga, Quadrato Magico, Lo Shu.
Questa potrebbe esserne la riproduzione con le cifre indo-arabe, a noi, sicuramente più familiari:

Il quadrato magico Lo Shu con numeri indo-arabi costante magica righe colonne diagonali
Figura 4

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1 • X • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11 • 12 • 13 • 14 • 15
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬



(Simbolismi, credenze e poteri divinatori, ma, fortunatamente, non solo...)

La configurazione del quadrato magico Lo Shu è stata considerata un simbolo dell'armonia universale: i numeri da 1 (l'inizio di tutte le cose) a 9 (il completamento), ancora oggi, sono considerati benauguranti, soprattutto il 5 centrale. La costante magica 15 si interpreta come la durata di ciascuno dei 24 cicli dell'anno solare cinese. Nell'antica Cina ci si ispirava a questo quadrato per progettare templi e città suddivise in 3 × 3 settori. Il quadrato numerico diventò uno dei simboli sacri della Cina e la rappresentazione dei più arcani misteri della Matematica e dell'Universo.
Quella cinese non è stata l'unica cultura a scorgere l'aspetto mistico del Lo Shu. I quadrati magici in genere erano oggetti spirituali per gli indù, i mussulmani, gli ebrei ed i cristiani. In Turchia ed in India, alle vergini veniva chiesto di ricamare quadrati magici sulle tuniche dei guerrieri. Si credeva che un quadrato magico posto sul ventre di una donna in travaglio facilitasse il parto.
Lo-Shu diventò anche forma di ornamento in ampie aree dell'Asia, assumendo un valore simbolico e propiziatorio legato alla credenza che un quadrato magico inciso su una piastra di metallo prezioso o nel cuoio, e portato al collo, potesse proteggere da gravi malattie e calamità. Questa tradizione perdura ancora oggi in alcuni paesi dell'Oriente, dove questi simboli vengono incisi anche su utensili di uso quotidiano come ciotole e recipienti per la conservazione di erbe o di pozioni medicinali. 
L' ordine del quadrato Lo Shu (3X3), il più semplice, cominciò ad "espandersi" e fecero la loro prima comparsa quadrati magici di ordine più grande (4X4, 5X5, ...10X10,...). Ampliando l'ordine, i quadrati magici aumentavano di complessità combinatoria, ma, al contempo, permettevano di celare "messaggi" e significati ancor più articolati e fantasiosi, pieni di "fascinoso" mistero.
Il primo quadrato magico di ordine 4 venne realizzato dall'astrologo indiano Varahamihira nel VI secolo d.C, da lì, l'ordine dei quadrati non ebbe più alcun limite. I quadrati magici erano ben noti ai matematici arabi probabilmente fin dal settimo secolo, quando questi entrarono in contatto con la cultura indiana e quella sud-asiatica. Impararono la matematica e l'astronomia indiane, comprese altre funzioni della Matematica combinatoria.
I quadrati magici furono importati in Europa durante il Medioevo e il loro influsso esoterico e la scia di misticismo cinese ed indo-arabo contribuirono ad alimentare teorie e congetture. Sembrava che grazie a queste griglie numeriche si potesse spiegare qualsiasi fenomeno dell'universo sia materiale che umano. Per gli astrologi e gli studiosi di magia, poi, avevano speciali significati; così per Cornelio Agrippa il quadrato magico di ordine 1 simboleggiava l'unità e l'eternità, l'inesistenza del quadrato magico di ordine 2 indicava l'imperfezione dei quattro elementi, mentre i sette quadrati magici degli ordini da 3 a 9 rappresentavano i sette pianeti allora conosciuti (la numerazione è stata assegnata rispettando l'ordine della sequenza planetaria nel sistema magico caldeo: 3 Giove, 4 Saturno, 5 Marte, 6 Sole, 7 Venere, 8 Mercurio, 9 Luna).
Durante il rinascimento forte fu il connubio con l'arte e numerosi artisti inserirono nelle loro opere quadrati di ordine diverso; incisioni o rappresentazioni su tela a cui i quadrati davano un alone di simbolismo e misticismo, rendendo l'opera stessa un "pensiero" da decifrare.
"E' facile prendersi gioco della predisposizione dei nostri antenati per l'occulto,eppure l'uomo moderno può capire il fascino esercitato dai quadrati magici. Semplice e sottilmente complesso al contempo, un quadrato magico è come un mantra numerico, un oggetto che si può contemplare all'infinito, un'espressione isolata di ordine in un mondo disordinato", scrive Alex Bellos nel suo Il meraviglioso mondo dei numeri (Enaudi).
Bisogna attendere il 1300 per avere una prima vera analisi sui quadrati magici da un punto di vista meramente matematico. Analizzando il lavoro dell'arabo Al-Buni, l'erudito bizantino greco Manuel  Moschopoulos (circa 1265 - 1316) scrisse un trattato matematico a proposito dei quadrati magici, andando oltre il misticismo dei suoi predecessori.  Si pensa che Moschopoulos fu il primo occidentale ad occuparsi dell'argomento. Intorno alla metà del XV secolo, l'italiano Luca Pacioli studiò queste strutture e raccolse tantissimi esempi. Si cominciava così a dare la giusta interpretazione della struttura logico-matematica di queste griglie di numeri.

Nel 1599 Diego Palomino pubblicò a Madrid un'opera sui quadrati magici, ma non indicò alcun procedimento generale per costruirli. Un elegante metodo per trovare quelli di ordine dispari fu pubblicato nel 1612 da C. G. Bachet nei suoi Problèmes plaisant. Quello pubblicato nel 1691 dal De La Loubere non ne differisce in maniera particolare.
Un procedimento per la costruzione dei quadrati di ordine pari fu dato da B. Frenicle De Bessy in un'opera pubblicata nel 1693; in essa si trovano elencati gli 880 quadrati magici di ordine 4. Le pubblicazioni sui quadrati magici divennero, poi, sempre più frequenti ed è così che apparvero le Rècrèations di Ozanam, il Traitè des quarrès sublimes di Poignard (Bruxelles, 1704) e varie memorie di L. Eulero.
Nel 1838 ci fu l'opera di Violle Traitè complet des carrès magiques pairs et impairs, simplex et composès, a bordures, compartiments, chassis, èquerre, etc., suivi d'un traitè des cubes magiques, in due volumi. Dal 1866 videro la luce diversi studi come quelli di A. H. Frost ed M. Frolow, mentre nel 1894 E. Maillet pubblicò le sue ricerche per una teoria generale dei quadrati magici fondata sulla teoria generale delle sostituzioni di "n" lettere. G. Arnoux pubblicò Les espaces arithmètiques hypermagiques (Parigi, 1894), in cui espose un metodo notevole per la costruzione dei quadrati magici d'ordine primo, poi esteso da A. Margossian in De l'ordonnance des nombres dans les carrès magiques impairs (Parigi, 1908) al caso di ordine composto qualunque.
Oggi, grazie anche a Martin Gardner che ne ha data ampia diffusione nei suoi articoli su "Scientific American" prima e nel suo Enigmi e giochi matematici poi, i quadrati magici sono diventati parte fondamentale di quella branca della Matematica che va sotto il nome di Matematica Ricreativa.
Molti giochi, test, quiz ed enigmi matematici sono stati "creati" e molti libri su questi argomenti sono stati scritti, quasi tutti contemplano i quadrati magici o una loro particolare riformulazione, a dimostrazione dell'importante aspetto ludico sì, ma anche logico-didattico, che le griglie numeriche ricoprono.


¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1 • X • 15 • 34 • 65 • 111 • 175 • 260 • 399 • 505 • 671 • 870 • 1105 • 1372 • 1695
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬



Io direi che a questo punto ci starebbe bene una pausa. Sento il bisogno di staccare, e voi?
Si possono fare due cose: alzarsi, sgranchirsi un po' le gambe, far scrocchiare schiena e collo, sgranocchiare qualcosa e poi riprendere la lettura, oppure? Oppure lasciar perdere, uscire da questa pagina e "navigare verso altri lidi", se non addirittura, spegnere il computer. A quelli che sono tentati dalla seconda ipotesi, posso solo dire che naturalmente sono liberi di farlo, ma che così rischiano di perdersi la prosecuzione di questa "ricostruzione magica", prosecuzione che continua, caso strano, con un po' di sana ricreazione.
Perchè giocare con i quadrati magici? Riadattando una frase di Alex Bellos...
"I quadrati magici sono un modo straordinariamente conciso di trasmettere la meraviglia insita nella Matematica. Spesso richiedono l'uso dell'immaginazione o si basano su verità che sembrerebbero contrarie alla logica. Il senso di trionfo derivante dalla soluzione di un enigma è un piacere che dà assuefazione; il senso di fallimento derivante dal non essere riusciti a risolverne uno è frustrante in modo quasi insopportabile".

Ricreazione... con i quadrati magici

(Quadrati magici interattivi; giocare completando, magari, anche con un po' di aiuto)


Dopo tanto parlare, finalmente un po' di gioco, e con cosa giocare se non con i Quadrati Magici?
Così, tanto per rimanere in tema, o perchè, proprio grazie al gioco, si riescono ad apprezzare meglio e comprendere più a fondo quei meccanismi logico-matematici che rendono queste griglie di numeri così affascinanti?
Quella che segue è una mia riproduzione digitale di griglie numeriche da completare. Nessuna regola se non quelle imposte dalle caratteristiche peculiarità dei quadrati magici. La somma dei numeri presenti nelle singole righe, colonne e diagonali deve essere sempre uguale alla costante magica del quadrato scelto. Solo di questo ci si deve preoccupare, far riportare le somme; al rispetto di altre piccole regole ci pensa il software che suggerisce quale sia la costante e avvisa in caso di evidenti errori o distrazioni. Non mi dilungo con spiegazioni che, giocando, risulteranno inutili in quanto l'obbiettivo del gioco risulta chiarissimo. Giocate pure quanto volete, ma poi ricordatevi di continuare la lettura dell'articolo, che finalmente comincerà ad affrontare la parte più bella e divertente (dopo il gioco) riguardante i quadrati magici. (almeno secondo me...)

ATTENZIONE: Il gioco richiede Microsoft Silverlight 4. Se non è stato già installato, verrà richiesto di farlo.

Get Microsoft Silverlight


¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1 • X • 1 • 88027530522417745×1019...
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬



Finora mi sono limitato a fare una ricostruzione storico-culturale dei quadrati magici ed ho solo accennato a quelli che sono gli aspetti prettamente logico-matematici in essi presenti. Sono state date delle definizioni generiche ed è stato presentato un gioco-utility interattivo per familiarizzare con la magia della "matematica dei quadrati",  ma non ho ancora mai risposto ad alcune domande fondamentali:
Esistono particolari caratteristiche dei quadrati magici che li rendono classificabili in categorie diverse? Quali sono queste le caratteristiche? Su una griglia data quante combinazioni di quadrati magici è possibile costruire? ...
 

Classificazione dei quadrati magici

(Tipologie e caratteristiche logico-matematiche. Formule, schemi e trasformazioni)


Una prima classificazione dei quadrati magici è quella più immediata e naturale: l'ordine.
L'ordine è il numero di quadrati che formano il lato della scacchiera (griglia), che a sua volta non è altro che la suddivisione in righe e colonne del quadrato preso in considerazione.

Ordine dei quadrati magici
Figura 5

L'ordine è una proprietà intrinseca del quadrato magico, è il suo Lato, ovvero il numero di sotto-quadrati che lo compongono, quindi, ogni quadrato sarà determinato da un preciso ordine n.

Un quadrato magico di ordine n, le cui entrate sono gli interi da 1 a n2, viene detto quadrato magico perfetto o quadrato magico normale. Non è stato mai dimostrato, ma si tende a credere che l'ordine dei quadrati magici possa essere infinito mentre è certo che il quadrato magico di ordine n=1 sia insignificante e quello di ordine n=2 è matematicamente impossibile. Il più piccolo caso non banale è quindi il quadrato di ordine n=3 (es: Lo Shu).
Si dice quindi quadrato magico perfetto o normale quel quadrato che ha:
1) La somma dei numeri presenti sulle singole righe uguale alle costante magica
2) La somma dei numeri presenti sulle singole colonne uguale alle costante magica
3) La somma dei numeri presenti sulle singole diagonali uguale alle costante magica
4) I cui numeri presenti sono interi da 1 a n2
Quando almeno una di queste 4 caratteristiche non è presente, il quadrato viene detto quadrato magico imperfetto o non normale.

Diagramma di classificazione dei quadrati magici
Figura 6

La costante magica dei quadrati magici perfetti può essere calcolata con la seguente formula:
Costante magica dei quadrati magici normali o perfetti

I primi 15 componenti della successione derivante dalla formula della costante magica M(n) sono:
1 (1x1), X (impossibile), 15
(3x3), 34 (4x4), 65 (5x5), 111 (6x6), 175 (7x7), 260 (8x8), 369 (9x9), 505 (10x10), 671 (11x11), 870 (12x12), 1105 (13x13), 1372 (14x14), 1695 (15x15).

Una domanda che i matematici, ma anche i semplici curiosi, si sono posti nei confronti dei quadrati magici perfetti è stata: quanti quadrati esistono per ogni ordine n?
La risposta non è stata affatto semplice e tuttora rimane incompleta. Uno dei grossi problemi che i matematici si sono trovati ad affrontare è la "trasformabilità" dei quadrati, ovvero, la possibilità di poter effettuare rotazioni o riflessioni su di un quadrato originario ed ottenerne un altro altrettanto magico e perfetto.
Si può introdurre nell'insieme dei quadrati magici perfetti una relazione di equivalenza, dicendo che:
due quadrati si equivalgono se si possono ottenere uno dall'altro per rotazioni o riflessioni.
In tal modo, l'insieme dei quadrati magici perfetti di ordine n viene suddiviso in classi di equivalenza, cioè insiemi di quadrati equivalenti tra loro. Senza voler approfondire il concetto di classi di equivalenza, quello che è importante capire è che esistono quadrati equivalenti tra loro e questi rendono quindi più complicato il concetto di unicità dei quadrati magici. Provo a fare un esempio con il quadrato magico Lo Shu, ma che risulta valido per qualsiasi quadrato di ordine n.

Trasformazioni geometriche (rotazioni e riflessioni) sul quadrato magico Lo Shu
Figura 7

Come si può notare esistono 8 tipi di quadrati 3x3 equivalenti tra loro, ma ne esiste solo 1 unico. Sperando di aver chiarito il concetto di unicità, si può quindi affermare che il numero dei differenti quadrati magici con ordine n da 1 a 5, non contando le rotazioni e le riflessioni è:
1 (1x1), X (impossibile), 1 (3x3), 880 (4x4), 275305224 (5x5). Il numero per n = 6 è stato valutato intorno a 1.7745×1019.(6x6). Impossibile (per ora) anche solo immaginare quanti quadrati unici possano essere costruiti in un quadrato di ordine n 7.

Le trasformazioni geometriche (rotazioni e riflessioni) sui quadrati magici perfetti permettono di creare nuovi quadrati equivalenti all'originario ma questo non è solo un problema che rende più difficile stabilire l'unicità di un quadrato, anzi... Dal punto di vista matematico e geometrico è una forma di trasformazione che rende i quadrati magici, se possibile, ancor più magici. Non tanto le rotazioni, quanto le riflessioni, hanno proprio quel sano gusto dei giochi di prestigio: nonostante una trasformazione consistente ed il conseguente spostamento di vari numeri all'interno della griglia, la costante magica rimane invariata. E' una proprietà affascinante che non hanno le griglie di numeri generiche, ma solo i quadrati magici.

Le trasformazioni algebriche (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione), su tutti i numeri di un quadrato perfetto, lo trasformano in un quadrato imperfetto o non normale, perchè viene meno il quarto punto (interi da 1 a n2) delle caratteristiche fondamentali di un quadrato magico perfetto. Ma i quadrati imperfetti o non normali non sono meno magici di quelli finora considerati. Spesso sono il frutto di un approccio fantasioso e curioso, il risultato di chi ha saputo "osare" al di fuori dei quattro cardini dei quadrati perfetti, di chi non ha voluto limitarsi a sperimentare seguendo le regole, ma che si è divertito a smontare e ricreare sotto altra forma.
L'utility che segue permette di poter effettuare delle trasformazioni algebriche partendo da un quadrato magico 4x4 di esempio ed applicando ai numeri in esso contenuti alcune operazioni. Sarà facile ed immediato poter verificare che, anche dopo le trasformazioni algebriche, il quadrato risultante sarà sempre e comunque magico (imperfetto) e avrà una sua costante magica derivante dall'operazione applicata. Fate la prova creando voi nuovi quadrati magici.

Esempio di quadrato magico 4x4

  34
12 8 1 13 34
10 6 3 15 34
5 11 14 4 34
7 9 16 2 34
34 34 34 34 34
Utility 1

Qualcuno avrà sicuramente notato che nell'utility non è contemplata la divisione, è corretto quindi precisare che anche le trasformazioni con operazioni di divisione portano alla creazione di un nuovo quadrato magico. Essendo un'operazione che comporta calcoli e procedure (fattorizzazione e minimo comune multiplo per la semplificazione delle frazioni...) più complesse, queste avrebbero appesantito inutilmente la gestione della pagina.
 
Come si può intuire dal diagramma (figura 6), i quadrati magici imperfetti hanno come unico limite la fantasia e proprio da questa categoria di quadrati hanno preso vita griglie matematiche che si sono poi indirizzate o verso esigenze specifiche o  verso il puro divertimento.


¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1 • X • 9 • 16 • 25 • 36 • 49 • 64 • 81 • 100 • 121 • 144 • 169 • 196 • 225
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬



Si è parlato di quadrati magici perfetti ed imperfetti, di ordine n delle griglie, di trasformazioni geometriche ed algebriche, di unicità dei quadrati, ma solo accennato alla costante magica M(n) e soprattutto, ho presentato una formula per calcolarla che, però, può essere usata solo per i quadrati magici perfetti. E allora...

... a proposito delle formule per la costante magica

(Dimostrazione delle formule per il calcolo delle costanti magiche. M(n) per quadrati perfetti ed imperfetti)

Esempio di un quadrato magico perfetto e di uno imperfetto
Costante magica dei quadrati magici normali o perfetti

La questione, ora, è capire la derivazione della formula per il nostro fantomatico  M(n).

Iniziando dalle basi, Gauss una volta "disse" che:

 

 

In altre parole, la somma di tutti i numeri naturali da 1 a n è pari a  .


Applicando questo concetto ai nostri quadrati magici (ne prenderemo ad esempio uno di ordine 4) dovremo considerare ben 16 numeri (n2). Per quanto riguarda la formula, possiamo scrivere che

 

 

Il problema di questa scrittura è che così facendo troviamo la somma di tutti i numeri da 1 a 16.

Il nostro scopo, invece, è quello di trovare la somma si ogni singola riga (o colonna). Considerando che possiamo dividere il nostro quadrato in esattamente 4 righe (o 4 colonne) aventi la stessa somma, possiamo semplicemente dividere il tutto per 4 (n), arrivando alla formula corretta:

 

 

Ma come fare con i quadrati imperfetti? I numeri che vengono considerati in questi casi non sono da 1 a , ma sappiamo solo che iniziano da un determinato numero  e proseguono con un passo regolare . In altre parole, se mettiamo i numeri in ordine crescente ci accorgiamo che la differenza tra un numero e il suo precedente è costante ed è esattamente .

 

Facciamo un esempio: consideriamo la serie numerica .

La differenza fra ogni elemento e il suo precedente è costante ed è pari a 2: ciò ci consente di dire che ci troviamo in presenza di una progressione aritmetica. Ogni numero k-esimo  della serie, quindi, è pari a , che non è altro che un modo più matematico di dire che ogni numero è pari al suo precedente più il passo della serie (che d'ora in poi chiameremo ragione). Seguendo questo criterio, lo stesso numero  è anche uguale a  e anche a  e così via ... Dando uno schema generale, quindi, per ogni  all'interno di una progressione aritmetica, , dove  è il primo termine della progressione.

Ritornando alla nostra progressione presa in esame, quindi:

·        

·        

·        

·        

·         ...

 

Chiudendo il discorso progressioni aritmetiche, torniamo ai nostri quadrati magici. Per arrivare alla formula, quindi, vogliamo seguire un procedimento simile a quello utilizzato per i quadrati perfetti. Allora, troviamo la somma di tutti i numeri!

 

Noi abbiamo definito i numeri di un quadrato magico imperfetto come una progressione aritmetica, quindi, proviamo a buttar giù una formula che sommi ogni singolo numero:

 

 

(Ricordiamoci qualche lettera usata:  è l'ordine del quadrato in esame,  è il k-esimo numero della progressione aritmetica,  è la ragione della progressione)

Ora, se per comodità di calcolo poniamo , non è meglio?

 

 

Il prossimo passaggio potrebbe non essere così intuitivo: la sommatoria che abbiamo appena scritto necessita di un po' di analisi prima di essere sviluppata.

 

Innanzitutto dividiamola in due parti:

 

 

La divisione che abbiamo effettuato è stata possibile grazie alla proprietà della sommatoria che ci dice che

 

 

Infatti

 

 

Dopo aver dimostrato che la nostra operazione è "accettabile", analizziamo la prima parte:

 

 

Innanzitutto notiamo che  non dipende in alcun modo da k, il che significa che il risultato della sommatoria non sarà altro che una serie di somme di :

 

 

Nella seconda parte, invece, l'espressione da sommare è . Qui abbiamo due fattori: uno dipendente da k, e l'altro no. Per risolvere la situazione allora tentiamo di scrivere per esteso la somma:

 

 

Da questa lunga serie di somme, ci accorgiamo immediatamente che è sempre presente il fattore comune , che quindi andiamo subito a raccogliere:

 

 

Un'analisi più approfondita del contenuto della parentesi quadra ci rivela che, se rimuoviamo le parentesi interne, abbiamo dei -1 ripetuti t-volte e una somma di numeri naturali da 1 a t; quindi riscriviamo l'ultimo passaggio come

 

 

La somma dei numeri naturali è stata sostituita con la formula di Gauss e poi abbiamo svolto il prodotto. A questo punto abbiamo finalmente determinato la quantità che stavamo cercando:

 

 

Uff ... che fatica! Penso che ormai ci siamo persi ... Torniamo all'inizio! Allora ... stavamo cercando di trovare un metodo veloce per il calcolo della somma dei numeri che compongono una progressione aritmetica, no? Scritto quindi

 

Con le nostre nuove "scoperte" sviluppiamo il tutto come

 

 

Aspetta ... Che fine hanno fatto le sommatorie? Sono scomparse? Beh, sì! Il che significa che siamo sulla buona strada!

Allora: raccogliamo subito  e poi  negli ultimi due termini all'interno della parentesi:

 

 

Svolgiamo qualche calcolo nelle parentesi:

 

Benissimo! Ormai abbiamo finito! L'ultima scrittura sarebbe ciò che andiamo cercando, ma se ci liberassimo di quelle due frazioni? Io direi di moltiplicare il tutto per 2 (e poi anche per  per non alterare il risultato):

 

 

Eccola! La somma della nostra progressione algebrica è Lei! Giusto per riassumere il tutto:

 

 

L'ultimo dettaglio da considerare è che avevamo assunto , quindi

 

 

Ora, torniamo ai nostri quadrati magici: come per i quadrati perfetti, abbiamo trovato una relazione che coinvolge tutti i numeri disposti nella griglia, mentre a noi interessa solo la somma di una colonna (o riga), dividiamo quindi il tutto per n. La nostra funzione per il calcolo della costante magica (che chiameremo  solo per distinguerla da quella dei quadrati perfetti) è questa:

 

 


Concludendo:

 

Quadrati magici perfetti

 

 

Dove:

·          è l'ordine del quadrato

Quadrati magici imperfetti

 

 

Dove:

·          è l'ordine del quadrato

·          è il primo numero della progressione

·          è la ragione della progressione



¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1 • X • 0 • 8 • 20 • 96 • 656 • 5568 • 48912 • 494080 • 5383552 • 65097600 • 840566080 • 11833898496 • 176621049600
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬



Prima che io prosegua è corretto da parte mia far presente che il diagramma  (figura 6) da me presentato non comprende l'intera classificazione e tipologie di quadrati magici rilevati e studiati fino ad oggi (vedi Wiki),  ma è stato strutturato secondo una mia personale interpretazione il cui scopo è soprattutto quello di mettere in evidenza le due macro-categorie (perfetti ed imperfetti),  le differenze rilevabili, le relazioni tra essi ed  infine i quadrati magici che da esse derivano. Dalla prima categoria scaturiscono quadrati sempre più perfetti e magici che hanno quali proprietà principali il fascino puro della Matematica e la bellezza e complessità degli schemi logici; di questi avrò modo di parlarne prendendo quali esempi alcuni dei quadrati magici più famosi della storia e dell'arte. Alla seconda categoria appartengono quelle trasformazioni e reinterpretazioni della prima che hanno portato, in seguito, alla nascita di numerosissime tipologie, molte delle quali si sono trasformate in giochi di matematica ricreativa di enorme successo le cui proprietà ludico-didattiche meritano una argomentazione specifica.

Alcuni quadrati magici famosi della storia e dell'arte

(Quadrati supermagici e diabolici. Proprietà, schemi, modelli e curiosità)


Lo Shu


Lo shu il quadratop magico più antico della storia
Figura 8

Come ho già fatto rilevare in precedenza, lo Shu è sicuramente il quadrato magico più conosciuto, vuoi per la sua semplicità, vuoi perchè è stato il primo della storia.
E' un quadrato magico perfetto di ordine 3 (3x3) con costante magica M(n) uguale a 15.
Esiste un solo quadrato unico e sette quadrati equivalenti ottenibili dalle sue trasformazioni geometriche (figura 7).
E' possibile costruire un quadrato magico di ordine 3 in modo molto semplice partendo da una griglia vuota ed inserendo i numeri da 1 a 9 in modo ordinato. Si spostano tutti i numeri di una posizione simulando una rotazione in senso orario facendo perno sul numero 5 centrale, che rimane nella sua posizione iniziale, e successivamente si invertono gli estremi delle due diagonali in modo reciproco (4 con  6 e 2 con 8). Forse è più chiaro guardando alcuni slideshow.


Quadrato magico lo shu costruzione 1
Quadrato magico lo shu costruzione 2
Quadrato magico lo shu costruzione 3
Quadrato magico lo shu costruzione 4
Quadrato magico lo shu costruzione 5
Quadrato magico lo shu costruzione 6
slideshow 1

Analizzando gli 8 quadrati della figura 7, balza subito agli occhi come il numero 5 sia sempre posizionato nella casella centrale, non solo, sugli spigoli dei diversi quadrati ci sono sempre e solo numeri pari, mentre i dispari sono sempre nelle caselle centrali dei "lati". Se ne può dedurre che non solo non si possono costruire più di 8 quadrati magici di ordine 3, ma che addirittura questi sono strettamente vincolati dalla posizioni dei numeri dispari, dei pari e del 5 che deve sempre trovarsi al centro. Si potrebbe affermare quindi che tutti i quadrati magici perfetti di ordine 3 debbano rispettare un preciso "modello" che potremmo chiamare modello del  Lo Shu e che potrebbe essere graficamente così rappresentato.
Modello del Lo Shu per i quadrati magici perfetti di ordine 3
Figura 9  
Mi vien da pensare che le tartarughe non solo sappiano contare, ma che abbiano anche ben chiara la distinzione tra numeri pari e numeri dispari, oltre a conoscere bene anche il concetto di centro. Che forse noi si debba fare un bel bagno nelle magiche acque del fiume Lo?
Simbolo della professione ragioneristica
Figura 10

Probabilmente i ragionieri l'hanno fatto, poiché, il quadrato del Lo Shu, iscritto in una forma circolare, è oggi il simbolo della professione ragionieristica e non si può certo dire che i signori non sappiano "far di conto".


Il quadrato magico di Dürer


Quadrato magico di Durer presente sulla sua famosa incisione Melencolia
Figura 11

Albrecht Dürer (Norimberga, 21/05/1471 – 6/04/1528) è stato un pittore, incisore  e matematico tedesco.
Figlio di un ungherese, viene considerato il massimo esponente della pittura tedesca rinascimentale. A Venezia l'artista entrò in contatto con ambienti neoplatonici e si presume che tali ambienti abbiano predisposto il suo carattere verso l'aggregazione esoterica. Classico esempio è la sua opera dal titolo Melencolia I, realizzata nel 1514, in cui sono presenti evidenti simbologie ermetiche.
E questo è quanto ci interessa sapere di questo artista-matematico.
E' la sua incisione Melencolia I che lo lega a filo doppio all'argomento qui trattato: i quadrati magici.

Melencolia - Incisione di Albrecht Dürer del 1514
Figura 12

In questa xilografia, l'artista mostra un angelo immerso nei suoi pensieri, circondato da oggetti matematici e scientifici, come un compasso,una sfera, una bilancia, una clessidra, un solido geometrico (un "troncato romboedrico" o "poliedro Dürer") e una griglia contenente dei numeri. Sorvolando sulle possibili interpretazioni e simbolismi dell'opera, si può notare (in alto a destra, sotto la campana) il famoso quadrato magico di Dürer,
che è un quadrato magico perfetto di ordine 4 (4x4) con costante magica M(n) uguale a 34.
La sua particolarità sta nel fatto che la costante magica 34 la si ritrova in molti schemi, oltre che nella somma dei numeri presenti in ogni singola riga, colonna e diagonale. Il 34 sembra spuntare quasi ogni qualvolta si prenda in esame alcuni gruppi di 4 numeri e si faccia la somma; questa caratteristica, a giusto titolo, gli permette di essere definito quadrato supermagico.  Di seguito alcuni  schemi in cui compare la costante magica 34.

Alcuni schemi in cui è riscontrabile la costante magica 34 nel quadrato di Durer
Figura 13

Questi sono solo alcuni degli schemi in cui si cela la costante magica 34; ci si può divertire a trovarne molti altri. Nella rappresentazione grafica (figura 13),  i gruppi di 4 numeri presi in considerazione di volta in volta, sono contraddistinti da un pallino di colore uguale che ne indica la posizione sulla griglia. Contemporaneamente, sono stati inseriti in ogni schema almeno due gruppi, questo per mettere in risalto anche la relazione geometrica che si crea tra loro. E' stupefacente constatare come la costante magica di questo superquadrato abbia la capacità di creare figure geometriche (quadrati, rettangoli, rombi, trapezi e parallelogrammi) o figure di fantasia (frecce, aquiloni...), ma non solo, è altrettanto "magico" come la rotazione o riflessione di uno corrisponda perfettamente all'altro. Si può ben comprendere come a questo superquadrato siano stati attribuiti poteri magici ed esoterici, cosa perfettamente comprensibile nel XVI secolo, ma oggi? Nel XXI secolo dovremmo sì rimanere affascinati e magicamente catturati da queste griglie numeriche e dai loro schemi, ma esclusivamente per la loro bellezza matematico-logica e per quella sorta di "magia" insita nei numeri e nella geometria.
Quello che non conosciamo o ci spaventa, o ci affascina, al punto tale da rimanerne per sempre imprigionati.
Sicuramente la costruzione di un quadrato magico con queste caratteristiche non è una cosa semplicissima, ma questo non significa che chi lo ha ideato sia in possesso di un qualche "super potere", magari, ha avuto solo una buona capacità di calcolo di base, una certa predisposizione alla logica, molta pazienza e altrettanta fantasia. O magari era un furbacchione che aveva trovato per caso un sistema per disporre facilmente 16 numeri in modo tale da far spuntare in continuazione la costante magica 34. Non è certo il caso di questo quadrato, no, troppo complicato prevedere tutti questi schemi...
E invece è possibile. Esiste un sistema molto semplice per costruire un quadrato magico di ordine 4 partendo da una griglia vuota ed inserendo i numeri da 1 a 16 in modo ordinato.
Non mi dilungo in spiegazioni che potrebbero risultare più complicate di quello che realmente il sistema comporta  (inversione delle diagonali), e preferisco spiegarne il metodo con l'ausilio delle immagini.

Quadrato magico Durer costruzione 1
Quadrato magico Durer costruzione 2
Quadrato magico Durer costruzione 3
Quadrato magico Durer costruzione 4
Quadrato magico Durer costruzione 5
slideshow 2

La nuova disposizione porta alla luce un quadrato magico perfetto che ha le stesse caratteristiche di quello di
Dürer, è un superquadrato ed anche esso segue gli schemi della figura 13, ma non è il quadrato di Dürer, ha qualche piccola differenza. Ora, sempre ipotizzando che l'artista abbia usato il sistema dell'inversione delle diagonali, avrebbe potuto accontentarsi del risultato ottenuto, visto che i due quadrati sono entrambi "favolosamente" perfetti e supermagici. Era il 1514 e Dürer probabilmente aveva notato una curiosa coincidenza (sempre ipotizzando): i due numeri centrali dell'ultima riga del quadrato costruito con il sistema dell'inversione delle diagonali erano, in ordine, 14 e 15. "Se riuscissi ad invertire quei due numeri, lasciando inveriate le proprietà del quadrato magico, riuscirei ad evidenziare la data di incisione della mia opera", avrà pensato il buon Dürer. Per sua fortuna la cosa era possibile ed anche in modo estremamente semplice.

Dopo aver effettuato l'inversione delle diagonali su di un quadrato con i numeri inseriti in ordine da 1 a 16, si effettua l'inversione delle 2 colonne centrali per ottenere il quadrato magico di Durer
Figura 14

La griglia (1) della figura 14 è il quadrato magico ottenuto con il metodo dell'inversione delle diagonali (slideshow 2); è sufficiente invertire interamente le due colonne centrali  (griglia (2)), per ottenere il quadrato magico di Dürer (griglia(3)). Non sappiamo quale procedimento realmente abbia eseguito Dürer per la costruzione del suo quadrato, ma l'ipotesi azzardata mi è comunque servita per spiegare un metodo molto semplice per la costruzione di una quadrato magico 4x4 (inversione delle diagonali) ed inoltre mi ha dato la possibilità di accennare ad una particolare proprietà dei quadrati supermagici di ordine 4: avendo come somma dei numeri contenuti nel sottoquadrato interno (figura 13, schema 1) la costante magica 34, è sempre possibile invertire interamente tra loro le due colonne centrali (figura 14, griglia(2)) o, sempre rispettivamente tra loro, le due righe centrali; il quadrato che si ottiene sarà sempre un superquadrato.


Il quadrato magico di Sabirachs ( Basilica della Sagrada familia )


Quadrato magico di Sabirachs inciso sulla facciata della passione della basilica della Sagrada Familia a Barcellona
Figura 15

Questo particolare quadrato magico dell'architetto Josep Maria Subirachs, pur non essendo propriamente un quadrato magico, in quanto non contenente tutti i numeri da 1 a 16 e, addirittura, con la ripetizione di due 10 e due 14, merita comunque di essere annoverato nell'elenco dei quadrati magici più famosi, sia per il suo significato artistico-religioso, sia perchè è forse l'unico quadrato non-magico avente comunque tutte le caratteristiche  matematiche e la perfezione "magica" delle migliori griglie numeriche. Lo si può considerare un quadrato quasi-magico imperfetto di ordine 4 (4x4) con costante magica M(n) uguale a 33.
La griglia in figura 15, è una scultura incisa sulla facciata della Passione della basilica della Sagrada Familia che si trova a Barcellona, capolavoro dell'architetto Antoni Gaudi, massimo esponente del modernismo catalano. Alla realizzazione del progetto della basilica, vista la sua vastità, hanno collaborato anche altri architetti ed in particolare Subirachs si è occupato della realizzazione della facciata della Passione.

Quadrato magico di Sabirachs inciso sulla facciata della passione della basilica della Sagrada Familia a Barcellona, di fianco alla statua rappresentante il bacio di giuda
Figura 16

L'incisione del quadrato si trova di fianco alla statua rappresentante il bacio di Giuda, e già questo potrebbe essere motivo di riflessione ed analisi nel tentativo di capire il perché di tale scelta, ma non è questo che qui ci interessa. Inizialmente Subirachs si trovò di fronte ad un problema, voleva incidere sulla sua facciata un quadrato magico che rivelasse un particolare numero  molto importante per la  cultura religiosa cattolica: il 33,  gli anni del Cristo. Ma non esistono quadrati magici perfetti che hanno quale costante magica il numero 33!
Quello che più gli si avvicina è il quadrato di ordine 4  la cui costante magica è pari a 34. Subirachs prese allora in considerazione il quadrato di Dürer e cominciò ad analizzarlo. Sapeva bene che la somma di tutti i numeri presenti (da 1 a 16) è uguale a 136 e che la relativa costante magica 34 si ottiene dividendo tale somma (136) per 4. Doveva trovare il modo di trasformare la somma 136 in 132; il suo 33 sarebbe spuntato magicamente. La cosa era più semplice a dirsi che a farsi, non era sufficiente far sparire 4 unità con sottrazioni che non seguissero un criterio logico tale da lasciare inalterata la struttura magica del quadrato. Ma Subirachs ci riuscì.
Partendo quindi dal quadrato magico di Dürer questo è il procedimento che probabilmente usò per arrivare al suo quadrato con costante magica 33.

Quadrato magico Subirachs costruzione 1
Quadrato magico Subirachs costruzione 2
Quadrato magico Subirachs costruzione 3
Quadrato magico Subirachs costruzione 4
slideshow 3

I numeri scelti a cui sottrarre un'unità (11, 12, 15, 16), probabilmente sono stati ben ponderati per raggiungere un altro obbiettivo, ovvero ottenere le due coppie di 10 e di 14, la cui somma 48, seguendo l'alfabeto latino,
è anche la somma delle lettere della parola INRI.(Iesus Nazarenus Rex Iudaeorum)
INRI = 9+13+17+9 = 48.
A B C D E F G H I K L M N O P Q R S T V X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Anche in qui, come nell'ipotesi di costruzione che Dürer probabilmente adottò per il suo quadrato, non si può asserire con certezza che Subirachs abbia usato questo metodo, ma se lo avesse fatto, avrebbe potuto decidere anche per altre quaterne di numeri a cui sottrarre l'unità. Infatti, sarebbe stato sufficiente scegliere i quattro numeri in modo tale che per ogni riga, colonna e diagonale ne venga preso uno ed uno solo. Faccio qualche esempio per far ben comprendere il concetto.

Le 8 possibili quaterne di numeri a cui togliere una unità ed ottenere costante magica 33 sul quadrato magico di Subirachs
Figura 17

Subirachs
scelse la quaterna del primo schema (figura 17), ma adesso sappiamo che le possibilità erano ben 8.

Il metodo di sottrazione di un'unità da una quaterna di numeri, usato da Subirachs, può essere generalizzato a tutti i quadrati magici perfetti di ordine n ed a tutte le trasformazioni algebriche (utility 1), per ottenere nuovi quadrati quasi-magici imperfetti. Parlando di trasformazioni algebriche era stato detto che: Le trasformazioni algebriche (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione) su tutti i numeri di un quadrato perfetto, lo trasformano in un quadrato imperfetto o non normale, perchè viene meno il quarto punto (interi da 1 a n2) delle caratteristiche fondamentali di un quadrato magico perfetto.
Ora, come dimostrato nell'esempio del quadrato di Subirachs, generalizzando, possiamo aggiungere che le trasformazioni algebriche su una quantità di numeri pari all'ordine del quadrato perfetto, scelti in modo tale che per ogni riga, colonna e diagonale ne venga preso uno ed uno solo, trasformano il quadrato perfetto originario in uno quasi-magico imperfetto (i numeri non saranno più da 1 a n2 ed alcuni di loro si ripeteranno)

La scultura di Subirachs sulla facciata della Basilica della Sagrada Familia, pur essendo un quadrato quasi-magico, non ha nulla da invidiare ai suoi "cugini più blasonati" (perfetti); in questa  griglia di numeri "imperfetti", la costante magica 33 compare in numerosi schemi, oltre che come somma delle singole righe, colonne e diagonali. Eccone alcuni esempi:

Alcuni schemi in cui è riscontrabile la costante magica 33 nel quadrato di Subirachs
Figura 18

Questi sono solo alcuni degli schemi in cui si cela la costante magica 33; ci si può divertire a trovarne molti altri. Anche in questo, seppur quadrato quasi-magico ed imperfetto, si può constatare con stupore come la costante magica riesca a creare figure geometriche (quadrati, rettangoli, parallelogrammi...), e, grazie a precise rotazioni o riflessioni della prima figura, crearne un' altra perfettamente identica, anche essa di pari costante magica 33.


I quadrati magici di Franklin


Quadrato magico di Franklin. Diagonale spezzata con costante magica di 260
Figura 19

Cosa ha a che fare Benjamin Franklin con i quadrati magici?
Genio poliedrico, Franklin, fu uno dei Padri fondatori degli Stati Uniti, ma non solo, svolse attività di giornalista, pubblicista, autore, diplomatico, attivista, inventore e scienziato. Diede contributi importanti allo studio dell'elettricità e fu un appassionato di meteorologia e anatomia. Inventò il parafulmine, le lenti bifocali, l'armonica a bicchieri e un modello di stufa-caminetto. Per la sua notorietà e multiforme attività, gli viene attribuita l'invenzione di diversi altri dispositivi che in realtà semplicemente utilizzò, portandoli alla pubblica attenzione, o migliorò, come l'odometro.

Dopo questa presentazione "Wikipediana" del Franklin, anche scienziato, alla domanda iniziale si potrebbe rispondere: "Perchè nei quadrati magici c'è Matematica! E Franklin si divertiva con la Matematica!".
Da giovane segretario della Pennsylvania si annoiava durante i dibattiti e spesso venne colto mentre costruiva quelli che chiamava i suoi quadrati magici. In una lettera pubblicata nel 1769, commentando un libro sui quadrati magici, scrisse: "Quando ero più giovane mi sono divertito ad inventare questo tipo di quadrati magici e, alla lunga, avevo acquisito una tale abilità, da poter riempire con una serie di numeri le celle di qualsiasi quadrato di grandezza ragionevole, con la stessa velocità con cui riuscivo a scriverli..." Già questa è "tosta" come affermazione ma, non contento, aggiungeva: "... Non bastandomi questi, che mi parevano facili e banali, mi ero dato compiti più difficili ed ero riuscito a realizzare altri quadrati magici, con una varietà di proprietà che li rendevano molto più curiosi". E, a quel punto, direi io,  preparato il suo pubblico, spiattellava sul tavolo il suo quadrato magico più famoso (figura 19). 
Effettivamente questo suo quadrato 8x8 , non solo è pieno di proprietà curiose e "magiche",  ma testimonia, secondo Franklin (vedremo che non è proprio così), uno dei suoi miglioramenti alla teoria  ed alle regole sui quadrati magici:  la diagonale spezzata. In pratica, la costante magica 260 del quadrato di ordine 8, è anche la somma dei numeri presi iniziando una diagonale, arrivando al centro e poi tornando indietro lungo l'altra diagonale (quadrati grigi figura 19).
 
Il quadrato di Franklin è un quadrato magico imperfetto di ordine 8 (8x8) con costante magica M(n) uguale a 260. E' imperfetto in quanto la somma delle due diagonali è 228 per la prima e 292 per la seconda. Franklin ha sacrificato le diagonali intere in favore delle mezze diagonali, ciò nonostante, il suo quadrato ha tali e tante di quelle proprietà che in molti, anche matematici famosi hanno cercato di scoprirle tutte, soprattutto si sono sfidati nel cercare di capire se Franklin avesse adottato un algoritmo logico per la costruzione il suo quadrato. Un metodo, non semplicissimo (che quindi evito volentieri) di descrivere, per coloro che fossero interessati, può essere quello ben presentato su questo sito.

Ecco alcuni esempi delle numerose proprietà di questo quadrato magico:

Quadrato magico Franklin proprietà 1
Quadrato magico Franklin proprietà 2
Quadrato magico Franklin proprietà 3
Quadrato magico Franklin proprietà 4
Quadrato magico Franklin proprietà 5
Quadrato magico Franklin proprietà 6
Quadrato magico Franklin proprietà 7
Quadrato magico Franklin proprietà 8
Quadrato magico Franklin proprietà 9
Quadrato magico Franklin proprietà 10
Quadrato magico Franklin proprietà 11
Quadrato magico Franklin proprietà 12
Quadrato magico Franklin proprietà 13
Quadrato magico Franklin proprietà 14
Quadrato magico Franklin proprietà 15
Quadrato magico Franklin proprietà 16
slideshow 4

Si rimane davvero affascinati nel cogliere proprietà e schemi di questo quadrato e Franklin probabilmente approfittava di questa "magia" per ammaliare i suoi interlocutori ed esaltare le sue doti di "mate-mago", sicuramente notevoli, ma, magari..., i tempi dichiarati...  Da buon politico sapeva che qualche "piccola bugia" può aiutare. Si dice che Franklin avesse inventato un altro quadrato intorno ai quarant'anni. In una sola sera compose un incredibile quadrato 16 x 16 che, a suo dire, era "il più magicamente magico di tutti i quadrati magici mai realizzati da un mago".

 Quadrato magico di Franklin 16x16, magicamente magico
Figura 20

Ai quadrati di Franklin non vengono attribuiti messaggi esoterici particolari o simbolismi culturali o religiosi di vario genere. Forse per la prima volta queste griglie numeriche assumono il loro corretto valore; si tende ad esaltare le capacità di chi, in qualche modo, riesce a completarli o ad inventarne di nuovi. E' l'abilità logico-matematica che stupisce ed interroga molti e, come nel caso del quadrato "magicamente magico"  16x16, molti, allora (ma credo anche oggi), passarono notti insonni a cercar di comprendere come fosse possibile costruire e creare una tale "perfezione". Divenne un vero e proprio "rompicapo" da risolvere, anche grazie alle sue pubblicazioni su giornali importanti dell'epoca, che gli diedero notorietà e spianarono la strada verso quella che in qualche modo, più tardi, verrà definita "Matematica ricreativa".
E' un quadrato magico imperfetto di ordine 16 (16x16) con costante magica M(n) uguale a 2056.
E' imperfetto in quanto la somma delle due diagonali è 1928 per la prima e 2184 per la seconda. Anche qui Franklin ha sacrificato le diagonali intere in favore delle mezze diagonali, ma questa volta non mi lascio tentare: niente calcoli e "scervellamenti" alla ricerca di qualche schema da evidenziare e immagini di strutture da proporre...
"Non è esagerato dire che si potrebbe passare la vita a contemplarne la meravigliosa struttura", ebbe a scrivere Clifford A. Pickover. Io colgo il suggerimento, e, avendo anche altro..., passo volentieri la mano.







Bibliografia
  • Alex Bellos, "Il meraviglioso mondo dei numeri", Edizioni EINAUDI
  • Martin Gardner, "Enigmi e giochi matematici", Edizioni BUR
  • L. Berzolari, "Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi", vol. 3, parte 2°.
  • M. Cipolla, "Matematica ricreativa", cap. LVII, punto IV, Edizioni HOEPLI, Milano 1971.

_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________



Non finisce qui...

Avevo iniziato a scrivere sull'argomento quadrati magici senza avere un'idea ben chiara di dove volessi arrivare; mi piacevano, ci avevo giocato spesso da ragazzino e, a volte, anche oggi, ma durante gli approfondimenti e la stesura l'argomento si è fatto sempre più interessante e soprattutto si sono aggiunti aspetti e punti di vista sempre più numerosi, curiosità da chiarire ed altro.
A questo punto, visto che la pagina si sta sempre più "gonfiando", ma che di aspetti da trattare ce ne sono ancora molti, decido di fermarmi qui.
Ho bisogno di riordinare le idee e magari anche i contenuti, collocandoli in una posizione più opportuna o migliorandone l'usabilità. Ho intenzione di continuare questo "percorso" attraverso le griglie numeriche e, appena pronti nuovi contenuti, provvederò ad aggiornare questa pagina. Chi volesse essere informato sugli aggiornamenti, basta che me lo faccia sapere, ed io provvederò a tenerlo informato.

Riguardo alle innumerevoli fonti che dovrei citare, provvederò cercando di selezionare, possibilmente, quelle originali, cosa alquanto complicata visto che  molti contenuti  sul web sono veri e propri copia/incolla che si ripetono e quindi risulta quasi impossibile risalire alle fonti originali. A tal proposito rimango disponibilissimo ad inserire i dovuti Link qualora ne venga fatta richiesta da chi di quei contenuti è il reale "proprietario intellettuale". Non ci dovrebbero essere contenuti duplicati se non alcune frasi o citazioni che meritavano di essere proposte senza "interferenze" da parte mia. Ho cercato di studiare l'argomento, comprenderlo, rielaboralo e presentarlo  in modo molto personale (a volte forse anche troppo). Quale sia stato il risultato, lo lascio decidere a voi...






Ti consiglio di seguire commenti ed eventuali discussioni
sulla pagina di Scientificando che ha ospitato l'articolo
   
Codice per incorporare l'articolo
     
Non hai trovato quello che cercavi?
Torna alla HomePage, da lì potrai accedere facilmente a tutti i contenuti del sito.
Torna all'inizio
Tutti i webmaster che volessero segnalare, non copiare,
il contenuto di questa pagina sul proprio sito, possono farlo liberamente.
E' gradito un preavviso tramite mail all'autore e l'iserimento,
nella pagina di citazione, di un link verso la pagina corrente.
© Copyright    Marco's Room
Contatti    Privacy    Valid XHTML 1.0 Transitional    CSS Valido!
Marco Cameriero Segui su LinkedInLinkedIn
Segui su Google+Google+
Data di pubblicazione: 15/10/2009    Ultimo aggiornamento: 01/12/2013
 
Porta d'ingresso per Marco's Room, la stanza Marco
  Feed RSS
Google
Web   Marco's Room
 
Effettua il login oppure registrati