Briciole ... tra i numeri

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Pubblicato il 11/03/2012 su Matem@ticamente

Segnalazione su Scuola e Didattica

Segnalazione sul sito di Scuola e Didattica

Questo mio lavoro sulla generalizzazione del diagramma d’argilla a modulo quadratico è stato portato all'attenzione della prestigiosa rivista Scuola e Didattica, dalla prof Annarita Ruberto ed è stato segnalato sul loro sito:
<Desta grande emozione constatare come uno studente 16enne sia riuscito a curarne - Aldo Bonet galeotto - una trasposizione e generalizzazione in chiave tecnologica, grazie alla interattività e dinamicità del software GeoGebra e alla preziosa consulenza storica di Aldo.>

 

Carnevale della Matematica

Grazie alla segnalazione dalla prof Annarita Ruberto sul suo blog Matem@ticamente, l’articolo ha partecipato alla 47a edizione del "Carnevale della Matematica " ospitato da Gianluigi Filippelli su DropSea. Questa la presentazione:
< Annarita lo ha definito un piccolo gioiello, e io non posso che essere d'accordo: personalmente lo considero il contributo del Carnevale, in una edizione che, spero conveniate con me, è veramente ricca come poche di alta qualità!>




Matematica d'argilla: generalizzazione del diagramma quadratico

(L'anello mancante dei mattoni poligonali regolari)

 

Diagramma di argilla risolvente a modulo quadraticoE' possibile che storicamente l'origine della geometria e dell'algebra si possa riferire ad un pugno d'argilla? E' possibile che dalla manipolazione di questa preziosa "materia prima" siano nati oggetti e figure che, a loro volta definite, movimentate, composte e scomposte, abbiano dato vita "al primo raggio di luce sulla buia preistoria dell'algebra geometrica"[1]? E' possibile che da 4 mattoni d'argilla posizionati a modulo quadrato, magari solo per la semplice conoscenza empirica delle leggi della statica applicate alle esigenze costruttive, si possano dedurre gli "antenati" di concetti algebrico-geometrici come i prodotti notevoli, il teorema di Pitagora e quello di Carnot, il Rapporto Aureo, i primi concetti di Equivalenza, di Limite ed Infinito, l'origine e lo sviluppo dei Poligoni e dei Poliedri regolari, e molto altro ancora? E dimenticavo un piccolo particolare: i 4 mattoni d'argilla di cui si parla avrebbero ( secondo le tavolette matematiche finora tradotte e rinvenute) sicuramente più di 3500 anni! Più di 5000 anni secondo l'ipotesi di Aldo Bonet (tenuto conto che il mattone ha più di 10.000 anni di storia). E' possibile tutto ciò? Se davvero lo fosse ci troveremmo di fronte ad una scoperta che rivoluzionerebbe la stessa storia della geometria e dell'algebra, sarebbe "come aver trovato un sito archeologico, con l'ausilio dell'intuizione, sulle origini del nostro pensiero prescientifico o matematico, dove lo scavo viene condotto mediante gli strumenti dell'analisi linguistica e della logica empirico-matematica"[2].

 

Lettera dello scriba Circa un anno e mezzo fa, grazie ad un articolo di Annarita Ruberto , " Lettera dello scriba: due ipotesi a confronto ", pubblicato sul suo blog Mate@ticamente , ebbi la possibilità di leggere ed apprezzare un lavoro enorme di ricostruzione storica e risoluzione algebrico-geometrica di alcuni famosi problemi delle civiltà arcaiche: i primi tre problemi diretti analizzati e contenuti nella tavoletta cuneiforme BM 13901 e il primo problema con sistema della tavoletta cuneiforme AO 8862. Tali problemi erano sufficienti per estenderli nello stesso modo risolutivo anche agli altri problemi rimanenti e contenuti nelle stesse tavolette soprindicate. Più nello specifico, il lavoro si basava sul confronto di due ipotesi antagoniste di possibili risoluzioni e ricostruzioni storiche: quella del geom. Aldo Bonet e quella del prof. Jens Høyrup . Il lavoro in questione è " Lettera dello scriba " il cui autore è Aldo Bonet.

Ora, non sto qui a farvi un sunto, primo perché non ne sarei in grado e secondo perché risulterebbe irriverente nei confronti di una magnifica opera di ricostruzione storico-matematica che invece merita di essere letta per intero dall'originale, questo per poterne apprezzare completamente le diverse fasi logico deduttive che man mano si susseguono e che vengono sempre supportate da documentazioni e riferimenti storici comprovati. Vi dico solo, tornando alle domande iniziali di questo articolo ( è possibile che...?), che il buon geometra a queste domande dà risposte concrete e reali, abilmente dimostrate dal punto di vista logico-matematico e sempre supportate da precisi riferimenti storici. E per farlo tira fuori dal cilindro un " Diagramma d'argilla risolvente a modulo quadrato", una sorta di "arnese" per il calcolo e le composizioni e scomposizioni geometriche. Ebbene, grazie a questa sua intuizione, Aldo (semplicemente ed amichevolmente solo Aldo da qui in poi) smonta l'ipotesi antagonista del prof. Jens Høyrup ed allo stesso tempo fa scaturire dal diagramma concetti e personaggi "futuri" come  Pitagora, Euclide e altri. In poche parole lega inequivocabilmente al diagramma d'argilla a modulo quadrato la primogenia del pensiero algebrico-geometrico. Ecco che la rivoluzione è compiuta; le va solo dato il giusto e meritato riconoscimento.

   

Sono partito da lontano, ma ci arrivo, tranquilli che ci arrivo (spero).

Questa premessa era d'obbligo visto che tutto il resto dell'articolo avrà come punto focale il diagramma d'argilla dell'ormai amico Aldo e senza questa premessa sarebbe stato difficile poter "presentare" i vari diagrammi d'argilla, questa volta poligonali. Dopo la mia prima lettura della " Lettera dello scriba" (sono sincero), passato un primo breve periodo in cui ancora mi riecheggiavano concetti, considerazioni e ricostruzioni dell'amico Aldo, non ci ho più pensato ed ho continuato il mio percorso di studente curioso senza che nulla di particolarmente significativo mi fosse rimasto. Avevo letto il lavoro di Aldo in modo probabilmente frettoloso e senza riuscire a comprenderne appieno l'importanza storico-matematica.

   

Il millenario problema dello scivolamento del palo"Galeotto" è stato (come spesso mi accade), un altro articolo dell'inesauribile Annarita: si parlava dell' inverso del teorema di Pitagora interattivamente riscontrabile grazie ad un suo applet costruito con Geogebra. In quell'articolo, tramite un suo commento, Aldo propone (spinto dal ricordo e dai metodi di insegnamento del suo caro professore di matematica Francesco Berardi) una piccola sfida: "Un giorno dovremmo provare a fare con Geogebra il criterio arcaico dello scivolamento o rotazione del quadrato che stava alla base dell'arcaico problema dello scivolamento del palo o della canna..."[3]. Più che una vera sfida io l'ho vista come una sorta di gentile richiesta da parte di un amico che per sua stessa ammissione ha poca dimestichezza con certe tecnologie digitali, quindi, pur non essendo stato interpellato direttamente, ho voluto provare a realizzare l'applet con Geogebra. Non vi spiego in cosa consisteva il millenario problema dello scivolamento del palo perché lo ha già fatto perfettamente Annarita in un altro articolo dove ha voluto inserire il mio applet e dove è presente un'ottima spiegazione dello stesso Aldo, ripresa da un suo precedente lavoro: " Genesi del teorema di Pitagora".

 

Scivolamento del palo e del diagramma di argilla a modulo quadrato Se avete seguito i vari link proposti, pian piano già si dovrebbe cominciare a materializzare nella vostra mente l'ormai onnipresente Diagramma d'argilla quadratico. Non è così? Nessun timore, neanche io ci avevo ancora concretamente pensato, ma a ricordarmelo arriva l'ennesimo commento di Aldo: "con Geogebra, dovresti fare in modo di costruire sul palo il diagramma di argilla a modulo quadrato e farlo scivolare assieme (assieme al palo) visualizzando così il variare dei quadrati costruiti sui cateti e far vedere di conseguenza il variare sincrono delle dimensioni dei rettangoli interni che lo compongono; anche per rientrare con quello che mi avevi chiesto oggi sulle dimensioni dei rettangoli e della evidente generalità che il diagramma esprime"[4]. L'obiettivo di Aldo era quello di "svincolare" il diagramma dalla staticità delle tavole cuneiformi e dei papiri e provare a dargli una sorta di dinamicità ed interattività che un po' gli mancava nel momento in cui non lo si rappresentava empiricamente con la forza vitale dell'argilla. Ed in questo la tecnologia di Geogebra poteva essere utile: l'argilla di sicuro utilizzo algebrico-geometrico più di 3500 anni fa ed i Byte di oggi, una collaborazione fantastica che superava i vincoli del tempo ed attualizzava ancor di più i segreti algebrico-geometrici che il millenario diagramma in sé celava.

Detto fatto, arriva il nuovo applet e nuovamente Annarita lo presenta insieme alle considerazioni di Aldo:

"[...] ho potuto vedere agevolmente ciò che, con fatica, ho sempre tentato di spiegare mediante la staticità della carta, come tu hai evidenziato con la mia tavola sul criterio di rotazione del quadrato (frecce, freccine verticali, orizzontali, in movimento ecc). Da ciò scaturisce la mia ferma convinzione che il diagramma di argilla è stato smontato e trasferito in bidimensionalità da Pitagora e dalle sue scuole per essere adattato all'epoca, con il solo uso di riga e compasso, al più "moderno" papiro (l'internet dell'antichità), poiché esso evidenziava la stessa difficoltà nell'esprimere una fedele rappresentazione grafica tridimensionale e dinamica del diagramma di argilla babilonese, che, invece, le rinomate scuole mesopotamiche mantenevano in atto, con la loro tecnica empirica e artigianale. Questa, se pur definita da Platone più appartenente ai comuni e rozzi operai, era, invece, molto più vicina alle attuali modellazioni tecnologiche e ciò grazie allo spostamento rigido dei vari pezzi di argilla, effettuato mediante equiscomposizioni, equicomposizioni, equisovrapposizioni, rotazioni, traslazioni, ribaltamenti ecc., che mal si conciliavano, purtroppo, con la staticità grafica del papiro [...]" [5]

 

 

Fino a questo momento avevo considerato le mie costruzioni con Geogebra un valido ausilio tecnologico-didattico alla "causa" del diagramma d'argilla e nulla di più; avevo creduto di far cosa gradita ad Aldo dando al suo lavoro quella dinamicità che il semplice foglio di carta impediva, ma non avevo ancora preso in considerazione una mia partecipazione attiva ai contenuti. Non ci avevo neanche lontanamente pensato, non per mancanza d'interesse sia chiaro, ma per puro rispetto e riverenza verso un lavoro che consideravo completo e perfetto e che quindi non aveva bisogno di "intrusioni" che ne potessero compromettere la qualità; eppure lo stesso Aldo aveva spesso messo in evidenza che il diagramma di argilla è solo la cima scoperta di una montagna ancora interamente sepolta e tutta da scoprire!

Poi si succedono due o tre cose che messe insieme mi fanno capire (non sono così sveglio) che forse stavo ricevendo "un invito" ad essere più partecipativo in questa pseudo-collaborazione che si era innescata, dove io vedevo la mia partecipazione finalizzata solo all'aspetto "tecnologico" mentre invece Aldo mi stava aprendo le porte e mi invitava ad entrare anche con la testa ed il cuore in quello che era il contenuto reale dei suoi studi.

 

  Diagramma a modulo pentagonale

Arriva la sua terza "sfida": "[...] riusciresti a concludere l'applet sullo scivolamento del palo estendendolo anche agli altri diagrammi di argilla? Ovvero al Diagramma a modulo: Triangolare, Pentagonale, Esagonale, ecc... probabilmente, nemmeno gli antichi babilonesi avranno fatto una simile estensione, ma sarà divertente e interessante... anche per me."[6]. Mi spedisce via posta un estratto della sua pubblicazione sul "Periodico di matematiche" (N°3, Set-Dic 2008) contenente il suo: "Il diagramma d'argilla, geometrico risolvente a modulo quadrato, che governava l'intera arte algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che ha aperto le porte alla Cultura Matematica delle civiltà arcaiche" più il libro di un altro suo importante lavoro: " La scienza di Talete". Ed inoltre, le nostre comunicazioni via mail si intensificano. Questa volta non si trattava di creare semplicemente un nuovo applet, questa volta mi veniva permesso (ma probabilmente questo l'avevo sin dall'inizio) di "rovistare" costruttivamente in almeno una parte del suo magnifico lavoro di ricostruzione storico-matematica: la generalizzazione del diagramma d'argilla quadratico verso la creazione di ennesimi diagrammi poligonali.

   

Mattone

E qui ho dovuto riprendere (questa volta più seriamente) la lettura delle ricerche e studi dello storico Aldo Bonet. E l'ho fatto con molto piacere anche grazie alla "carta" che mi era stata così gentilmente donata. Io respiro tecnologia tutti i giorni (come tutti i ragazzi della mia età) ma ho potuto appurare che la lettura su carta permette una maggiore concentrazione in quanto scevra da "distrazioni digitali". Mi sono subito reso conto che per la costruzione dei vari diagrammi avevo un problema: molteplici erano le costruzioni possibili ed io dovevo adottare quella che più poteva "adattarsi" alle conoscenze delle civiltà arcaiche in cui lo stesso problema poteva essersi presentato. Si trattava di fare mentalmente un salto indietro nel tempo di più di 3500 anni e provare ad immaginare come uno scriba del II millennio a.C. avesse potuto costruire il suo diagramma d'argilla poligonale. Il grande problema di fondo in cui mi sono imbattuto è stato la forma geometrica del mattone; il diagramma, qualsiasi fosse il modulo da "costruire", secondo me, doveva partire sempre dall'elemento primario che era il mattone (es: 4 mattoni rettangolari = diagramma quadratico). Ma Aldo mi aveva mandato l'immagine (figura B) di un diagramma pentagonale in cui i mattoni avevano la forma trapezoidale. Questo smontava tutta la mia ipotesi di partenza, ipotesi che ho così cercato di spiegare ad Aldo insieme ai miei dubbi.

   

Diagramma pentagonale con mattoni rettangolari" [...] Ciao Aldo, ecco la mia ipotesi ed i miei dubbi:

1) Pensavo che comunque tutti i diagrammi dovessero partire dal "mattone" e quindi da un rettangolo iniziale che poi si distribuisce lungo i lati dell'eventuale poligono. Nel caso del diagramma quadratico avevamo 4 mattoni che si distribuivano lungo i lati del quadrato costruito sull'ipotenusa (palo verde), il tutto a formare il diagramma quadratico (figura A). Quindi, nel pentagono pensavo 5 mattoni rettangolari, nell'esagono 6 ecc. Ma poi ho visto la tua immagine (figura B) ed a questo punto ho il dubbio che il "mattone" debba essere per forza rettangolare visto che dalla tua immagine sembra sia un trapezio isoscele.

2) L'idea è quella di immaginare una sorta di "cassetta degli attrezzi" per la didattica arcaica in cui fossero presenti arnesi per il calcolo e le costruzioni o movimentazioni geometriche: il diagramma a modulo quadrato ne sarebbe l'espressione (come tu hai dimostrato nei tuoi studi) e comprenderebbe l'uso eventuale del palo, della corda, del mattone, dell'angolo vuoto (squadra) e dell'angolo pieno (cuneo). Perché sia empiricamente realizzabile la costruzione dei diagrammi poligonali da uno scriba di 3500 anni fa, avrei però bisogno di sapere se nel periodo storico a cui ci stiamo riferendo, ci fosse la consapevolezza dei concetti di angolo e di poligoni così come noi li conosciamo.


3) Pensavo inoltre che le dimensioni dei vari mattoni che si distribuiscono sui lati dell'eventuale poligono regolare, dovessero variare in egual modo con il variare di X e Y, ovvero le misure dei cateti del triangolo rettangolo che viene a formarsi tra il palo ed il muro (grigio scuro). Chiaramente, il variare delle dimensioni dei mattoni porterebbe automaticamente a variare il poligono regolare interno (rosso chiaro; differenza dei quadrati nel diagramma quadratico) che viene a formarsi internamente al poligono costruito sull'ipotenusa (verde chiaro).

4) Imponendo come elemento costituente il mattone rettangolare (figura C), io avrei tutti i riferimenti geometrici per risalire ai 3 poligoni fondamentali che verrebbero a crearsi (verde, rosso chiaro e grigio tratteggiato) e si tratterebbe di riferimenti geometrici elementari (spigoli) facilmente riscontrabili anche empiricamente. I due spigoli coincidenti con la diagonale del mattone (nel nostro caso il palo verde), considerando mattoni identici che andrebbero a distribuirsi a modulo poligonale (pentagonale nel nostro esempio), coinciderebbero con il pentagono verde costruito sulla diagonale dello stesso mattone. Gli spigoli interni dei mattoni coinciderebbero con il pentagono rosso chiaro e quelli esterni con il pentagono grigio tratteggiato.

5) Questo tipo di costruzione che prende come riferimenti gli spigoli dei vari mattoni movimentati per la costruzione dei diagrammi poligonali, mi potrebbe permettere anche di generalizzare algebricamente le due formule presenti nel diagramma a modulo quadrato (figura A: ; ), ovvero il quadrato della differenza e quello della somma.[...]"

   

Diagramma pentagonale in mattoni

"[...] Ciao Marco, io ho buttato lì così la sfida, pensando ai miei diagrammi rigidi, però mi è piaciuto questo tuo pensiero, questo giusto approccio storico di pensare. Potrebbe  anche essere, come dici tu, un modo alternativo per raggiungere la scoperta dei poligoni regolari e poteva essere anche quello di disporre i mattoni a ventaglio, aperti di un angolo per costruire delle figure consecutive ( 3,4,5,6,7, 8 lati ecc..). I miei diagrammi hanno strutture di mattoni trapezoidali rigide con misure angolari obbligatorie confortate anche da tavolette e problemi esistenti, il tuo è molto più dinamico e mi piace. Sinceramente, all'inizio, come tu ben sai, quando ho visto frettolosamente il tuo diagramma avevo pensato ad un tuo errore, ma poi, le tue parole iniziali della tua successiva e-mail, di cui al primo punto, hanno risvegliato in me l'identico approccio prima di incamminarmi verso un passato remoto e così, sono andato a rivedere e focalizzare meglio il tuo applet; ho capito subito di aver commesso io l'errore e di essere in realtà davanti ad una nuova e meravigliosa scoperta!...Dovevo immediatamente sperimentare in laboratorio questa tua grande scoperta ed ho constatato che il tuo risultato non era poi così diverso dal mio,anzi, direi che il tuo, che inizialmente pensavo alternativo, era senz'altro migliore, ora posso preannunciarti che per la genesi è addirittura primordiale al mio e lavorandoci empiricamente posso dimostrartelo (figura D). Come laboratorio empirico per te, per i tuoi mattoni poligonali rettangolari, sono andato a prendere quelli veri (poiché l'argilla conserva da sempre le sue antiche vibrazioni); cinque mattoni rettangolari e cinque cannette colorate color rosa e..., funziona perfettamente! Nell'imbastirli correttamente a girotondo ( formando coi mattoni un circolo chiuso perfetto), gli angoli di 18°si formano quasi automaticamente in modo empirico senza conoscerne il loro valore, a differenza di quelli trapezoidali in cui si rende necessario ricavarne il giusto angolo di costruzione attraverso vari e vari tentativi empirici. Ti invito a continuare seguendo le tue intuizioni anche perché l'essere sgombri di nozioni e pieni di un approccio genuino porta la mente libera a ripercorre strade semplici e genuine: strade nuove e strade antiche. Questo era anche il pensiero e la convinzione di due ottimi storici della matematica: il professor Tullio Viola e il professor Bruno Rizzi.

Riguardo al concetto di angolo, l'uomo delle civiltà arcaiche lo conosceva più come forma che come vera grandezza! Secondo Jeans Høyrup, "Lettera dello Scriba", "Le origini", pag 112 ( pag 13 di Jeans Høyrup): "Non c'era un concetto di angolo come quantità misurabile. Distinguevano solo fra angoli praticamente retti (angoli rilevanti per il calcolo delle aree) e angoli obliqui ( e perciò irrilevanti)". Mentre i poligoni erano conosciuti con l'empirismo come hai fatto tu con i tuoi mattoni. Ci sono anche tavolette (del periodo di Hammurabi) che evidenziano poligoni regolari iscritti in un cerchio, quindi con un concetto grafico molto preciso.

Tavoletta con ettagono                                             Tavoletta con esagono

Fig. 1                                                                                                                  Fig 2

Le Fig 1 e 2 sono rispettivamente il fronte e il retro di una stessa tavoletta contrassegnata come TMS2 risalente ad un periodo un po' anteriore ad Hammurabi o antica Babilonia. Nella Fig 1 è presente un ettagono regolare, mentre nella Fig 2 è presente un esagono regolare, entrambi iscritti in un cerchio.

Queste tavolette sono state rinvenute in una missione archeologica in Iran, tradotte e studiate da E.M. Bruins e M.Rutten e poi pubblicate in un libro dal titolo: Textes Mathématiques de Suse (Testi matematici di Susa), Parigi 1961. Questa tavoletta dimostra anche una certa teoria numerica dei poligoni regolari confermata da un terzo testo dentro il quale ci sono 70 costanti per il pentagono, l'esagono e l'ettagono. Il problema esposto proponeva di calcolare l'altezza di uno dei triangoli interni componenti.

Anche un favo era una buona visione poligonale fatta in natura, una ragnatela poi, poteva anche dare l'idea delle prime imbastiture poligonali, il triangolo, il quadrato, il rombo erano mimetizzati tra l'intreccio dei rami e il rettangolo tra l'intreccio dei tronchi. Questi erano gli input della geometria poligonale visiva dell' uomo delle civiltà arcaiche; molto più scorgeva sfere e cerchi celesti, raggi solari, rette che squarciavano le nubi, ellissi nelle ombre e nelle sezioni degli alberi, elicoidi nelle conchiglie, cerchi concentrici intersecanti..buttando dei sassi nell'acqua ecc... Questo è sufficiente per farti capire l'emozione enorme che deve aver provato l'uomo arcaico quando è riuscito perfettamente a ricreare con le sue mani la geometria della natura circostante e soprattutto quando è riuscito seguendo l'ordine dei numeri naturali a creare nuove figure poligonali e poliedriche regolari sconosciute alla stessa natura visiva !.....L'inizio della logica matematica prescientifica.

BM-15285: Tavoletta con problemi sul quadrato
Fig 3

Nella Fig 3 è presente una tavoletta risalente al periodo dell'antica Babilonia dove sono presenti dei problemi sul quadrato, sia sul fronte che sul retro. Un quadrato unitario scomposto in varie sottofigure geometriche componenti in cui lo scriba si propone di ricavare la somma totale delle superfici complessive. Contrassegnata come BM 15285 è stata studiata e tradotta da F. Thureau-Dangin in Textes Mathématiques Babyloniens,Leiden E.J.Brill 1938 e da Otto Neugebauer in Mathematische Keilschrift-Texte, Berlino 1935.[...]"

 

Generalizzazione diagramma di argilla applet GeogebraAvevo la sensazione (che più avanti verrà dimostrata) che Aldo sapesse bene dove il mio ragionamento mi avrebbe portato ma, da buon allievo di un Maestro, mi lasciava libero di spaziare senza condizionamenti nella speranza che i suoi semplici stimoli sotto forma di sfide, mi portassero a ripercorrere strade che lui ben conosceva ma che se si fosse limitato a descrivermele, mi avrebbe tolto il gusto della scoperta e quindi la completa consapevolezza. A questo punto, ricevuta la "benedizione" dello storico della matematica, non mi rimaneva che proseguire.

Partendo da una prima generalizzazione, ovvero quella grafica, con Geogebra ho costruito vari diagrammi (triangolare, quadratico, pentagonale, esagonale, ettagonale e ottagonale). L'applet in questione è stato realizzato cercando di simulare la costruzione empirica che Aldo ha dimostrato fisicamente possibile (figura D) imbastendo materialmente mattoni a girotondo ed in un circolo perfettamente chiuso, facendo coincidere i giusti spigoli dei mattoni e sugli stessi costruendo i diversi poligoni. L'interattività dell'applet permette il ridimensionamento simultaneo della dimensioni del mattone "originario costituente" (X e Y) semplicemente trascinando il punto alla base del palo verde (diagonale del mattone e quindi ipotenusa del triangolo rettangolo grigio scuro). La tecnologia di Geogebra permette movimentazioni (traslazioni e rotazioni) e sovrapposizioni (tramite diverse spunte) dei diversi elementi geometrici e questo consente osservazioni geometriche e verifiche algebriche difficilmente praticabili su di una semplice tavoletta cuneiforme o su un papiro di 3500 anni fa. L'ipotesi iniziale di un mattone originario costituente che si moltiplica volte, che si movimenta a modulo poligonale e i cui spigoli sono generatori di nuovi poligoni, grazie a Geogebra è stata verificata e quindi il primo obiettivo, ovvero quello della generalizzazione di un metodo empirico-tecnologico di costruzione geometrica di -esimi diagrammi poligonali. In qualche modo il diagramma d'argilla a modulo quadratico è stato "ricondotto" in una più generale regola poligonale come è probabilmente giusto che sia visto che il quadrato altro non è che un poligono regolare di 4 lati; un poligono regolare che nella sua "particolarità" genera nuovi assiomi (es: il parallelismo a due a due dei lati...). L'applet è stato anche pensato come uno strumento per l'osservazione dinamica degli aspetti geometrici ed algebrici che i diagrammi poligonali celano e che lo storico Aldo ha intuitivamente svelato dall'osservazione "fisica", studiato e dimostrato nei suoi lavori di ricostruzione storico-matematica. Lascio a voi l'osservazione e le riflessioni ricordando che l'applet è solo uno strumento di supporto ad uno studio più approfondito che può essere fatto solo  alla fonte.

 

Questa mia generalizzazione geometrica dei vari diagrammi ha però un grossissimo difetto: non ha riscontri storici ravvisabili in un qualche documento o tavoletta antica; non ci sono reperti archeologici che possano confutare una costruzione poligonale dei diagrammi così come io l'ho ipotizzata. Si tratta quindi solo di una ricostruzione fantasiosa senza alcuna pretesa storica.

OK, mi sono divertito. Per un po' ho indossato il cappello di Indiana Jones alla ricerca di una relazione geometrica generatrice perduta, ma non ci sono riuscito (credevo).

 

Poi... mi arriva un file .DOC di Aldo. Il titolo: "L'anello mancante dei diagrammi poligonali".
Scrive Aldo: "Ti avevo preannunciato che il tuo metodo potesse essere addirittura primordiale al mio e che lavorandoci un po' empiricamente avrei potuto dimostrartelo. Segue la dimostrazione fatta con mattoni reali, una dimostrazione empirica limitata al caso del diagramma pentagonale, la cui validità si può estendere in forma generale"

A partire dai mattoni poligonali rettangolari e primordiali (es: diagramma pentagonale)

Diagramma pentagonale in mattoni

 

per passare ai mattoni trapezoidali poligonali dei miei diagrammi a modulo poligonale, è sufficiente considerare che l'angolo di apertura (il tuo ) è identico all'angolo di taglio dei mattoni ancora crudi, aventi come facile direttrice il fianco dei mattoni.


Diagramma pentagonale in mattoni 2

Si possono quindi delineare tutti i vari tagli da effettuare sul diagramma pentagonale

Diagramma pentagonale in mattoni 3

e inciderne i vari pezzi triangolari per separali dalla struttura del diagramma primordiale

Diagramma pentagonale in mattoni 4

I pezzi così equiscomposti si equicompongono perfettamente negli angoli di apertura (i tuoi )

Diagramma pentagonale in mattoni 5

Imbastendo così la rifinitura del diagramma e delineando le successive foggiature del modulo pentagonale, come volevasi dimostrare:

Diagramma pentagonale in mattoni 6

 

Diagramma pentagonale in mattoni

Voi capirete la mia gioia nel vedere questa dimostrazione. La sensazione che avevo avuto era corretta: Aldo mi aveva lasciato giocare con il cappello di Indiana Jones, aveva intuito che il mio metodo primordiale mi avrebbe portato ai suoi diagrammi pentagonali rigidi ed alla fine ha voluto regalarmi questa dimostrazione empirica che secondo lo storico svelerebbe l'esistenza dell'anello mancante per il passaggio tra il diagramma d'argilla a modulo quadratico e gli altri diagrammi poligonali rigidi documentabili storicamente. L'anello primigenio mancante tra le primitive foggiature fatte con mattoni rettangolari e quadrati che probabilmente hanno condotto alla scoperta dei primi poligoni regolari e le equivalenti foggiature trapezoidali successive che hanno condotto ai diagrammi poligonali rigidi. La possibile compatibilità storica di questo originario passaggio nel quale mi sono imbattuto "accidentalmente" andrà sicuramente studiata ed approfondita, ma questo sarà compito dello storico della matematica antica Aldo Bonet, io sono già soddisfatto di essere arrivato fin qui grazie allo stimolo ed al preziosissimo aiuto dell'amico Aldo.

 

Ma lasciamo le costruzioni e generalizzazioni geometriche e proviamo a gustare un po' di algebra elementare, anche se in questo caso non potranno esserci riscontri storici con le civiltà arcaiche visto che mi servirò di un po' di sana trigonometria e di alcune conoscenze algebriche sui poligoni regolari.

 

Generalizzazione algebrica dei diagrammi di argilla poligonali Come egregiamente dimostrato nei suoi studi da Aldo, l'area del quadrato interno del diagramma d'argilla a modulo quadrato corrisponde sempre ad (figura A), poiché il lato di questo quadrato è proprio . Con l'ausilio dell'apposito applet di Geogebra, si può facilmente constatare che anche al variare delle dimensioni del mattone rettangolare (X e Y), l'area del quadrato interno (rosso chiaro) corrisponderà sempre al quadrato della differenza delle dimensioni del mattone.

Volendo generalizzare questo concetto anche ai diagrammi poligonali, la precedente relazione perde la sua validità. Sorge così, quindi, l'esigenza di trovare una nuova relazione valida per diagrammi basati su poligoni regolari con numero di lati diverso da 4.

Immaginiamo quindi di costruire il diagramma d'argilla basandoci su un poligono -gonale (poiché il numero di lati è una variabile, la figura successiva presenta solo alcuni lati di questo poligono):

Angoli poligoni regolari

Osservando attentamente la figura, possiamo notare che presenta, in maniera ripetitiva, sempre lo stesso quadrilatero (evidenziato in blu), di fondamentale importanza poiché uno dei suoi lati coincide con quello del poligono interno la cui area stiamo tentando di generalizzare.

Come possiamo notare, inoltre, questo quadrilatero è il risultato della composizione di metà del nostro mattone rettangolare (quindi il triangolo rettangolo con cateti X e Y) e un ulteriore triangolo scaleno di cui conosciamo solo due lati (X e Y) ed un angolo ( ). Sarà quindi importante calcolare l'ampiezza dell'angolo .

Angoli poligoni regolari 2

Essendo l'angolo l'angolo interno del poligono -gonale costruito sull'ipotenusa del triangolo rettangolo di partenza, la sua ampiezza è pari a ( angoli interni di un poligono regolare ) . I due angoli ad esso adiacenti e sono gli altri angoli non retti del triangolo rettangolo di partenza. e saranno quindi complementari, e, di conseguenza, .

Torniamo al quadrilatero che stavamo precedentemente analizzando, e focalizziamoci sul triangolo scaleno a sinistra. Tracciandone l'altezza relativa al lato , lo suddividiamo in due triangoli rettangoli.

Angoli poligoni regolari 3

Troviamo le misure dei cateti del triangolo rettangolo :

   ( definizione di coseno )

    ( definizione di seno )


A questo punto, calcoliamo l'ipotenusa (che poi è il lato del poligono interno la cui area stiamo cercando) con il teorema di Pitagora.

(nota: , indipendentemente dal valore di . Ulteriori informazioni su questa identità trigonometrica.)

(nota: il procedimento che abbiamo appena utilizzato riconduce al teorema di Carnot ; poiché verrà riutilizzato successivamente, se ne consiglia l'approfondimento)

 

Per calcolare l'area del poligono possiamo utilizzare la relazione con l'apotema.

In ogni poligono regolare l' apotema è pari a:

dove è il numero di lati del poligono, e è la misura del lato (nel nostro caso specifico ).


L'area del poligono sarà quindi pari a:

Inseriamo in questa relazione il valore trovato precedentemente:

Siamo così giunti a ricavare una relazione valida per diagrammi basati su poligoni regolari con un qualunque numero di lati.


Per dimostrare comunque la validità della relazione del diagramma quadratico , utilizziamo la formula appena trovata, e consideriamo il caso particolare del diagramma a modulo quadrato in cui .

 

Così come siamo riusciti a generalizzare l'area del poligono interno di qualsiasi diagramma -gonale, ora tenteremo di raggiungere il medesimo obiettivo per il poligono esterno (grigio tratteggiato), in modo tale da generalizzare la relazione , anche essa dimostrata da Aldo nei suoi studi (figura A).

Il poligono esterno (tratteggiato in grigio) va a delineare un nuovo triangolo (evidenziato nella figura successiva in blu) del quale conosciamo due lati (corrispondenti ad X e Y, i lati dei mattoni), e il terzo corrisponde al lato del poligono esterno la cui area stiamo tentando di generalizzare. Seguiremo quindi lo stesso procedimento adottato precedentemente.

Angoli poligoni regolari 4

Per trovare l'ampiezza dell'angolo , consideriamo l'angolo giro che ha vertice sul punto evidenziato in nero: due angoli che lo compongono sono retti, mentre un terzo è proprio . Quindi:

Grazie al teorema di Carnot:


Ricordando i teoremi di addizione e sottrazione di seni e coseni:

Da cui ne consegue che:


Ricordando il valore dell'area calcolato tramite l'utilizzo dell'apotema, giungiamo a:

Anche qui, per abbiamo:


In conclusione, da questa generalizzazione algebrica, abbiamo ricavato due formule che ci permettono di calcolare facilmente le due aree poligonali (quella interna rossa e quella esterna grigia) semplicemente conoscendo le dimensioni del mattone (X e Y) e il numero dei lati (
) del poligono. Notare come le due formule sembrino identiche mentre in realtà si differenziano proprio a causa del segno (negativo o positivo) davanti al doppio prodotto delle dimensioni ( 2XY ) del mattone originario; differenza che ritroviamo anche in figura A, ; , ovvero il quadrato della differenza e quello della somma nel diagramma d'argilla risolvente a modulo quadrato.

dove

 

Il tutto può essere quindi sintetizzato come:

 

Un sentito ringraziamento allo storico della Matematica antica (nonché amico)  Aldo Bonet, che con pazienza e continui stimoli ha permesso la stesura di questo articolo; una collaborazione essenziale senza la quale non sarei riuscito a portare a termine questo piccolo "lavoro" di ricostruzione e generalizzazione dei diagrammi d'argilla poligonali con mattoni rettangolari originari.

 

Marco Cameriero




Note:
1,2,3,4,5,6: Frasi e pensieri di Aldo Bonet riprese dalle sue pubblicazioni scientifiche indicate e dai commenti esposti sui precedenti post citati e presenti sul blog Matem@ticamente della professoressa Annarita Ruberto.


Sitografia e bibliografia dello storico della Matematica Aldo Bonet, più qualche consiglio alla lettura:
- Lettera dello scriba: due ipotesi a confronto
- Genesi del teorema di Pitagora
- Il diagramma d'argilla, geometrico risolvente a modulo quadrato, che governava l'intera arte algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che ha aperto le porte alla Cultura Matematica delle civiltà arcaiche. "Periodico di Matematiche" organo della Mathesis N°3 Set-Dic 2008, Vol1 Serie X Anno CXVIII, scaricabile gratuitamente dal sito Storia della matematica
- Le possibili origini geometriche del principio della semisomma e semidifferenza delle incognite in uso presso i babilonesi e sue applicazioni. "L’educazione Matematica" Dicembre 1989 Anno X Serie II-Vol.4. Rivista quadrimestrale a cura del centro di ricerca e sperimentazione dell’educazione matematica di Cagliari, scaricabile gratuitamente dal sito Storia della matematica
- La Scienza di Talete

Dal blog Matem@ticamente della professoressa Annarita Ruberto:
- Bhaskara e una dimostrazione del teorema di Pitagora
- E’ arrivato a scuola il millenario diagramma di argilla a modulo quadrato
- Bronowski sul teorema di Pitagora
- Il diagramma di argilla, soltanto casualità?

Per approfondire la Storia della Matematica e confrontare le sue pubblicazioni scientifiche, Aldo Bonet consiglia ed io condivido le seguenti letture :
- "C’è spazio per tutti" di Piergiorgio Odifreddi (Mondadori 2010)
- "La matematica. I luoghi e i tempi" di C. Bartocci e P. Odifreddi (Einaudi, Torino, 2007)
- "Lengths, Widths, Surfaces" di Jens Høyrup (Spinger 2002)
- "Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics" di Jöran Friberg (World Scientific 2007)
- "Unexpected Links between Egyptian and Babylonian Mathematics" di Jöran Friberg (World Scientific 2005)
- "A Remarkable Colllection of Babylonian Mathematical" di Jöran Friberg (Springer 2007)
- "La matematica delle civiltà arcaiche" di Livia Giacardi e S.C. Roero (Stampatori Didattica Torino 1979)
- "Storia dell’algebra" di Silvio Maracchia (Liguori 2009)
- "Storia della Matematica" di Carl B. Boyer (Mondadori 2011)
- "Breve storia del pensiero scientifico" di Charles Singer (Enaudi 1961)
- "Antico Oriente" di Mario Liverani (Laterza 2009)
- "La Musica di Pitagora" di Kitty Ferguson (Longanesi 2009)
- "The Ascent of Man" di Jacob Bronowski (Little Brown 1973)
- "Storia universale dei numeri" di Georges Ifrah (Mondadori 1983)
- "Il mattone e la sua storia, 8000 anni di architettura" di James W.P. Cambell (Dolis edizioni 2003)
- "Dangin in Textes Mathématiques Babyloniens" di F. Thureau (Leiden E.J.Brill 1938)
- "Mathematische Keilschrift-Texte" di  Otto Neugebauer (Berlino 1935)
- "le Scienze esatte nell’Antichità" di Otto Neugebauer (Feltrinelli 1974)
- "Mathematical Cuneiform Textes" di Otto Neugebauer e A. Sachs (American Oriental Society 1945)
- "Textes Mathématiques de Suse" di E.M. Bruins e M.Rutten (Parigi 1961)




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Data di pubblicazione: 15/10/2009    Ultimo aggiornamento: 01/12/2013
 
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