Tentativo di soluzione
Proverò a spiegarmi cercando di essere più semplice
e chiaro possibile ( non sarà facile ),
inserendo tutti i diversi passaggi sia logici che matematici,
in modo da tentare di ottenere una formulazione
comprensibile anche per coloro che non "masticano" volentieri
numeri e Matematica; per i "masticatori", probabilmente,
la spiegazione potrebbe risultare eccessivamente laboriosa,
ma mi è sembrata la più facilmente comprensibile.
Magari mi sono complicato la vita più del dovuto,
ma il mio obbiettivo era una spiegazione
che non desse nulla di scontato, anche perchè,
è stata chiesta la mia partecipazione al "gioco"
dai MITICI della terza B della prof. Annarita,
che chiaramente ringrazio per avermi fatto partecipare
e quindi questo tentativo di soluzione è rivolto soprattutto a loro.
Senza riscrivere tutta la traccia, facciamo solo uno schemino
che ci aiuta ad inquadrare il problema.
La traccia ci dice che i due camminano a passo costante e che si incontrano la prima volta
a 500m da A , arrivano alla parte opposta, tornano indietro e si rincontrano
a 300m da B , tutto questo senza mai fermarsi.
A questo punto possiamo fare una prima considerazione sui dati a disposizione:
non ci sono tempi, non ci sono spazi percorsi, conosciamo solo il luogo
dei due incontri e sappiamo che le loro velocità sono costanti.
Questo ultimo dato sulla velocità costante è molto importante.
Proviamo ora a cercare di capire quali sono gli spazi percorsi da entrambi
e per fare questo dobbiamo considerare l'intero percorso di ognuno
che sarà dato dalla somma dell'andata più il ritorno; teniamo quindi presente
per il momento, solo il luogo del secondo incontro. ( 300m da B al ritorno )
LUI quindi percorrerà all'andata l'intera lunghezza L ( da A a B) della piazza
ed al ritorno solo 300m da B
Chiamiamo questo percorso P( Lui)
Quindi il percorso completo di LUI sarà :
P ( Lui) = L + 300
Ora vediamo il percorso totale di LEI fino al momento del secondo incontro.
LEI percorrerà all'andata l'intera lunghezza L ( da B a A) della piazza
ed al ritorno la lunghezza L esclusi gli ultimi 300m da B
Chiamiamo questo percorso P( Lei)
Quindi il percorso completo di LEI sarà :
P( Lei) = L + ( L - 300 )
semplificando
P ( Lei) = 2 L - 300
Come si può notare dallo schemino qui sopra che riporta i due percorsi completi
sia di LUI che di LEI fino al momento del secondo incontro,
risulta evidente che LEI percorre più strada.
Questo è sicuramente una costatazione importante perchè ci fa desumere che
la velocità di LEI è maggore di quella di LUI.
Perchè è importante questo dato ?
Torniamo ad analizzare quello che succede durante il primo tragitto.
I due, è stato detto, si incontrano a 500m da A
Quindi, appurato che lei cammina ad una velocità maggiore,
vuol dire che già durante il primo tragitto lei avrà percorso più strada.
Vediamolo nello schemino qui sotto.
Si può quindi dire che la lunghezza della piazza sarà
L= 500 +D1 +500
e quindi
L = D1 +1000
A questo punto, per calcolare la lunghezza della piazza occorre conoscere D1
D1 è, come abbiamo visto, il percorso che fa in più LEI
durante il primo tragitto.
All'inizio, avevamo calcolato due dati che adesso
Possono tornare utili
P ( Lui) = L + 300 ( percorso completo di LUI)
P ( Lei) = 2 L - 300 ( percorso completo di LEI )
Sappiamo ormai che LEI percorre più strada di LUI
Calcoliamo quanta strada totale percorre in più.
La chiameremo Dt
Dt sarà uguale a P( Lei) meno P( Lui)
Andando a fare le opportune sostituzioni avremo
Dt = 2 L- 300 - ( L + 300 )
semplificando
Dt = L - 600
A questo punto abbiamo due dati in più per provare a calcolare
La lunghezza della piazza L
Dt = L - 600 ( percorso totale che LEI ha fatto in più )
e D1 che possiamo ricavare da questa formula trovata precedentemente
L= D1 +1000
e quindi
D1 = L - 1000 ( percorso del primo tragitto che LEI ha fatto in più )
Ora, conoscendo Dt e D1 possiamo, per differenza,
calcolare D2, il quale non è altro che il percorso
del secondo tragitto che LEI ha fatto in più.
Quindi:
D2 = Dt - D1
andiamo a sostituire e calcolare
D2 = L - 600 - ( L - 1000 ) = 400
Come possiamo osservare, guardando lo schemino qui sopra, con particolare attenzione
al secondo tragitto di lei, si potrebbe riscrivere la lunghezza L in questo nuovo modo
L = 500 + D2 + 300
Siamo arrivati quindi ad una formula che ci permetterà di calcolare la lunghezza L.
Sostituiamo il valore di D2
L = 500 + 400 + 300 = 1200 m
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Proviamo ora a rispondere al secondo quesito:
quale è il rapporto tra le velocità di LEI e di LUI.
Chiamiamo V( Lui) e V( Lei ) le due velocità
e Rap il rapporto che vogliamo calcolare
Il loro rapporto sarà
Rap = 
Ma noi le due velocità non le conosciamo
Però possiamo provare a ricavarle.
Sappiamo che la formula della velocità in un moto rettilineo uniforme è
V = 
Proviamo ad inserire i dati che abbiamo a disposizione
Conosciamo lo spazio percorso da LEI che è P( Lei)
E lo spazio percorso da LUI che è P( Lui),
l'abbiamo ricavati precedentemente
Ora proviamo a scrivere la formula della velocità di LUI
V ( Lui) = 
Calcoliamo il valore di P(Lui)
P ( Lui) = L + 300 = 1200 + 300 = 1500 m
Andiamo a sostituire il valore di P( Lui)
V ( Lui) = 
Facciamo lo stesso con la velocità di LEI
V ( lei) = 
Calcoliamo il valore di P( Lei)
P ( Lei) = 2 L - 300 = 2 * 1200 - 300 = 2100 m
Andiamo a sostituire il valore di P( Lei)
V ( Lei) = 
Il rapporto sarà:
Rap = 
Essendo t ( tempo impiegato ) un valore uguale per entrambi
possiamo tranquillamente semplificarlo.
A questo punto il rapporto tra le due velocità sarà
Rap = 
Ricapitolando il tutto:
La piazza sarà lunga 1200m
e il rapporto tra le velocità sarà uguale a 
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Riflessione post - soluzione ( per la terza B e tutti i ragazzi in cerca di ...)
Una cosa su cui questo problema fa riflettere è la costatazione che, purtroppo,
le ragazze hanno un passo superiore a noi "maschietti".
Forse è per questo che ci tocca sempre "rincorrerle".
A questo punto per poterle "acchiappare" le cose sono due:
o noi cerchiamo di correre più in fretta, o loro rallentano.
Ipotizziamo sempre la piazza:
vediamo una ragazza che ci piace e allora acceleriamo per raggiungerla,
ma lei, se vuole, si fa raggiungere, se non vuole, accelera anche lei e allora addio appuntamento.
Cosa farebbe il matematico dopo aver valutato la situazione considerandola da più prospettive?
Beh! Probabilmente gli sarebbe chiaro che chi decide "se sì o se no" è la ragazza
e che quindi non servirebbe a nulla aumentare la corsa o fare doppi giri di piazza.
Cerca un'altra soluzione, magari anche meno stancante.
Decide di non muoversi assolutamente, anzi cerca la prima panchina
o muretto con "vista piazza" e ci si "spaparanza".
Il punto d'osservazione deve essere buono e soprattutto ben visibile anche dalla ragazza
che nel frattempo continua a passeggiare guardandosi attorno.
Dalla sua comodissima postazione il ragazzo lancia i suoi sguardi,
cerca di farsi notare e la ragazza lo nota, eccome se lo nota,
ma continua a camminare, non può certo fermarsi davanti
al primo che la chiama o che gli lancia sguardi. Ora io dico:
Ma benedetta ragazza, ma lo sai cosa ha passato quel poveraccio seduto sul muretto ?
Ha dovuto fare una marea di conti, ha orchestrato varie strategie,
ha cercato un muretto libero ( e voi sapete come sia difficile trovarlo ), tutto perchè ?
Perchè gli piaci. E allora fermati !!!
Prova ad ascoltarlo; che ti piace ti piace, altrimenti non avresti sorriso,
poi tanto stupido neanche è; lo dimostra il fatto che lui sta seduto sul muretto
mentre gli altri, con la lingua di fuori, scorrazzano per la piazza.
Dai che scocca la scintilla.
La Matematica che "acchiappa".
Ciao raga siete forti