Briciole ... tra i numeri

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Pubblicato il 13/11/2010 su Matem@ticamente


Dal libro "I giochi matematici russi":
Il problema dei motoscafi.

"Il motoscafo M parte dalla riva A nello stesso momento in cui il motoscafo N lascia la riva B;
i due motoscafi attraversano un lago viaggiando a velocità costante
e si incontrano per la prima volta a 500 metri da A, proseguono,
raggiungono ciascuno la riva opposta e,
senza fermarsi, tornano indietro, incontrandosi a 300 metri da B.
Quanto è lungo il lago e che rapporto c'è tra le velocità dei due motoscafi?"

Intanto potrei incominciare con il riformulare il problema:
LUI e LEI.


Provate ad immaginare che il lago non sia un lago ma la piazza del vostro paese o città
dove tutti noi passeggiamo cercando di individuare della "buona selvaggna"
e che quindi A e B siano gli estremi della piazza.

Diciamo che non ci sono motoscafi M o N ma un LUI ed una LEI, uno qualsiasi di noi.
Lui e LEI partono contemporaneamente dai due estremi opposti della piazza,
passeggiando con passo costante incrociano i loro sguardi 500m dal primo estremo(B) della piazza.

Già al primo sguardo i due avranno pensato:
"Beh! Proprio niente male!..."

Continuano senza fermarsi ognuno per la propria direzione, arrivano all'estremo della piazza,
invertono il senso di marcia e riprendono a camminare.
Arrivati a 300m dall'estremo (A) nuovamente gli sguardi si incrociano,
questa volta scatta un sorriso ed uno dei due fa anche l'occhiolino;
ma non si fermano, continuano a camminare.
Però a questo punto la situazione si è messa alquanto bene,
diciamo che camminando camminando ed incontrandosi ripetutamente…
Beh! Potrebbe nascere qualcosa.

Ora io vi chiedo, è davvero importante conoscere la lunghezza della piazza
o il rapporto tra le velocità di LUI e LEI ?
Potrebbe. Si potrebbe.
Qualche volta anche la Matematica aiuta ad "acchiappare"

 

 

 

Tentativo di soluzione

Proverò a spiegarmi cercando di essere più semplice

e chiaro possibile ( non sarà facile ),

inserendo tutti i diversi passaggi sia logici che matematici,

in modo da tentare di ottenere una formulazione

comprensibile anche per coloro che non "masticano" volentieri

numeri e Matematica; per i "masticatori", probabilmente,

la spiegazione potrebbe risultare eccessivamente laboriosa,

ma mi è sembrata la più facilmente comprensibile.

Magari mi sono complicato la vita più del dovuto,

ma il mio obbiettivo era una spiegazione

che non desse nulla di scontato, anche perchè,

è stata chiesta la mia partecipazione al "gioco"

dai MITICI della terza B della prof. Annarita,

che chiaramente ringrazio per avermi fatto partecipare

e quindi questo tentativo di soluzione è rivolto soprattutto a loro.

 

Senza riscrivere tutta la traccia, facciamo solo uno schemino

che ci aiuta ad inquadrare il problema.

 

La traccia ci dice che i due camminano a passo costante e che si incontrano la prima volta

a 500m da  A  , arrivano alla parte opposta, tornano indietro e si rincontrano

a 300m da  B  , tutto questo senza mai fermarsi.

 

A questo punto possiamo fare una prima considerazione sui dati a disposizione:

non ci sono tempi, non ci sono spazi percorsi, conosciamo solo il luogo

dei  due incontri  e sappiamo che le loro velocità sono costanti.

Questo ultimo dato sulla velocità costante è molto importante.

 

Proviamo ora a cercare di capire quali sono gli spazi percorsi da entrambi

e per fare questo dobbiamo considerare l'intero percorso di ognuno

che sarà dato dalla somma dell'andata più il ritorno; teniamo quindi presente

per il momento, solo il luogo del secondo incontro. ( 300m da  B  al ritorno )

 

LUI quindi percorrerà all'andata l'intera lunghezza L ( da  A  a  B) della piazza

ed al ritorno solo 300m da  B

Chiamiamo questo percorso P( Lui)

Quindi il percorso completo di LUI sarà :

P ( Lui) = L + 300

 

Ora vediamo il percorso totale di LEI fino al momento del secondo incontro.

LEI percorrerà all'andata l'intera lunghezza L ( da  B  a  A) della piazza

ed al ritorno la lunghezza L esclusi gli ultimi 300m da  B

Chiamiamo questo percorso P( Lei)

Quindi il percorso completo di LEI sarà :

P( Lei) = L + ( L - 300 )

semplificando

P ( Lei) = 2 L - 300

 

 

Come si può notare dallo schemino qui sopra che riporta i due percorsi completi

sia di LUI che di LEI fino al momento del secondo incontro,

risulta evidente che LEI percorre più strada.

Questo è sicuramente una costatazione importante perchè ci fa desumere che

la velocità di LEI è maggore di quella di LUI.

Perchè è importante questo dato ?

 

Torniamo ad analizzare quello che succede durante il primo tragitto.

I due, è stato detto, si incontrano a 500m da  A

Quindi, appurato che lei cammina ad una velocità maggiore,

vuol dire che già durante il primo tragitto lei avrà percorso più strada.

Vediamolo nello schemino qui sotto.

 

 

Si può quindi dire che la lunghezza della piazza sarà

L= 500 +D1 +500

e quindi

L = D1 +1000

 

A questo punto, per calcolare la lunghezza della piazza occorre conoscere D1

 

D1 è, come abbiamo visto, il percorso che fa in più LEI

durante il primo tragitto.

All'inizio, avevamo calcolato due dati che adesso

Possono tornare utili

 

P ( Lui) = L + 300            ( percorso completo di LUI)

P ( Lei) = 2 L - 300         ( percorso completo di LEI )

Sappiamo ormai che LEI percorre più strada di LUI

Calcoliamo quanta strada totale percorre in più.

La chiameremo Dt

Dt sarà uguale a P( Lei) meno P( Lui)

 

Andando a fare le opportune sostituzioni avremo

Dt = 2 L- 300 - ( L + 300 )                  

semplificando

Dt = L - 600

 

 

A questo punto abbiamo due dati in più per provare a calcolare

La lunghezza della piazza L

Dt = L - 600         ( percorso totale che LEI ha fatto in più )

e D1 che possiamo ricavare da questa formula trovata precedentemente

L= D1 +1000

e quindi

D1 = L - 1000        ( percorso del primo tragitto che LEI ha fatto in più )

 

Ora, conoscendo Dt e D1 possiamo, per differenza,

calcolare D2, il quale non è altro che il percorso

del secondo tragitto che LEI ha fatto in più.

Quindi:

D2 = Dt - D1

andiamo a sostituire e calcolare

D2 = L - 600 - ( L - 1000 ) = 400

 

 

Come possiamo osservare, guardando lo schemino qui sopra, con particolare attenzione

al secondo tragitto di lei, si potrebbe riscrivere la lunghezza L in questo nuovo modo

L = 500 + D2 + 300

Siamo arrivati quindi ad una formula che ci permetterà di calcolare la lunghezza L.

Sostituiamo il valore di D2

L = 500 + 400 + 300 = 1200 m

 

__________________________________________________________

 

 

Proviamo ora a rispondere al secondo quesito:

quale è il rapporto tra le velocità di LEI e di LUI.

 

Chiamiamo V( Lui) e V( Lei ) le due velocità

e Rap il rapporto che vogliamo calcolare

 

Il loro rapporto sarà

Rap =  

 

Ma noi le due velocità non le conosciamo

Però possiamo provare a ricavarle.

 

Sappiamo che la formula della velocità in un moto rettilineo uniforme è

V =

 

Proviamo ad inserire i dati che abbiamo a disposizione

Conosciamo lo spazio percorso da LEI che è P( Lei)

E lo spazio percorso da LUI che è P( Lui),

l'abbiamo ricavati precedentemente

 

Ora proviamo a scrivere la formula della velocità di LUI

V ( Lui) =  

Calcoliamo il valore di P(Lui)

P ( Lui) = L + 300 = 1200 + 300 = 1500 m

Andiamo a sostituire il valore di P( Lui)

V ( Lui) =

 

Facciamo lo stesso con la velocità di LEI

V ( lei) =  

Calcoliamo il valore di P( Lei)

P ( Lei) = 2 L - 300 = 2 * 1200 - 300 = 2100 m

Andiamo a sostituire il valore di P( Lei)

V ( Lei) =  

 

 

Il rapporto sarà:

Rap =  

 

Essendo t ( tempo impiegato ) un valore uguale per entrambi

possiamo tranquillamente semplificarlo.

A questo punto il rapporto tra le due velocità sarà

 

Rap =  

 

 

Ricapitolando il tutto:

 

La piazza sarà lunga    1200m

e il rapporto tra le velocità sarà uguale a  

 

__________________________________________________________

 

Riflessione post - soluzione  ( per la terza B e tutti i ragazzi in cerca di ...)

Una cosa su cui questo problema fa riflettere è la costatazione che, purtroppo,

le ragazze hanno un passo superiore a noi "maschietti".

Forse è per questo che ci tocca sempre "rincorrerle".

A questo punto per poterle "acchiappare" le cose sono due:

o noi cerchiamo di correre più in fretta, o loro rallentano. 

Ipotizziamo sempre la piazza:

vediamo una ragazza che ci piace e allora acceleriamo per raggiungerla,

ma lei, se vuole, si fa raggiungere, se non vuole, accelera anche lei e allora addio appuntamento.

Cosa farebbe il matematico dopo aver valutato la situazione considerandola da più prospettive?

Beh! Probabilmente gli sarebbe chiaro che chi decide "se sì o se no" è la ragazza

e che quindi non servirebbe a nulla aumentare la corsa o fare doppi giri di piazza.

Cerca un'altra soluzione, magari anche meno stancante.

Decide di non muoversi assolutamente, anzi cerca la prima panchina

o muretto con "vista piazza" e ci si "spaparanza".

Il punto d'osservazione deve essere buono e soprattutto ben visibile anche dalla ragazza

che nel frattempo continua a passeggiare guardandosi attorno.

Dalla sua comodissima postazione il ragazzo lancia i suoi sguardi,

cerca di farsi notare e la ragazza lo nota, eccome se lo nota,

ma continua a camminare, non può certo fermarsi  davanti

al primo che la chiama o che gli lancia sguardi. Ora io dico:

Ma benedetta ragazza, ma lo sai cosa ha passato quel poveraccio seduto sul muretto ?

Ha dovuto fare una marea di conti, ha orchestrato varie strategie,

ha cercato un muretto libero ( e voi sapete come sia difficile trovarlo ), tutto perchè ?

Perchè gli piaci. E allora fermati !!!

Prova ad ascoltarlo; che ti piace ti piace, altrimenti non avresti sorriso,

poi tanto stupido neanche è; lo dimostra il fatto che lui sta seduto sul muretto

mentre gli altri, con la lingua di fuori, scorrazzano per la piazza.

Dai che scocca la scintilla.

La Matematica che "acchiappa".

 

Ciao raga siete forti

 

 


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Data di pubblicazione: 15/10/2009    Ultimo aggiornamento: 01/12/2013
 
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