Briciole ... tra i numeri

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Pubblicato il 24/10/2010 su Scientificando


Anno scolastico 2008-2009.
La I F riunita in laboratorio,
a suon di pendolo e cronometri sgangherati,
si appresta a "sbucciare" la mela di Newton,
come? Accelerando.

La gravità della situazione impone impegno e serietà,
che nell'angusta aula mal si adatta.

Ecco così tuonare il docente:
"Accelerazione gravitazionale, voglio una relazione esaustiva"

Che fai? Dici no alla prof?

Questo è il risultato ottenuto.



Misurazione dell'accelerazione gravitazionale

Introduzione:

Nel corso di questa relazione verrà riportato il processo di misurazione dell'accelerazione gravitazionale, reso possibile grazie all'utilizzo di un pendolo, di cui saranno valutati i parametri di lunghezza del pendolo stesso e del relativo periodo. Di conseguenza, verranno utilizzati i seguenti strumenti di misura:

  • Un metro con la sensibilità pari ad 1mm, per valutare la lunghezza del pendolo (dall'inizio a metà del corpo agganciato)
  • Un cronometro con la sensibilità di 1cs, per misurare il periodo.
    Considerando che i cronometri utilizzati sono di tipo digitale, è stato impossibile stimare ad occhio un'ulteriore cifra. Inoltre, considerando che le misure sono affette dall'errore provocato dal tempo di reazione umano, al fine di ridurre questo errore, nelle tabelle di raccolta dati saranno presenti valori relativi a 10 periodi consecutivi, i quali verranno successivamente divisi per effettuare correttamente i calcoli.

Infine, verranno calcolati gli errori sulle misure dirette (lunghezza e periodo) e sulle relative misure indirette (l'accelerazione gravitazionale); in particolare, saranno calcolati gli errori di tipo assoluto, relativo e percentuale, rispettando le leggi sulla propagazione degli errori.

 

 

Raccolta dati:

Lunghezza (l)

Valore

1

1.5820 m

2

1.5825 m

3

1.5834 m

4

1.5856 m

5

1.5834 m

6

1.5827 m

7

1.5819 m

10 periodi (t)

Valore

1

25.21 s

2

25.69 s

3

25.69 s

4

25.46 s

5

25.26 s

6

25.08 s

7

25.85 s

 


 

Calcolo degli errori sulle misure dirette:

 

Calcoliamo il valor medio delle misure effettuate:

 

 

 

 

Calcoliamo l'errore assoluto commesso sulle misure effettuate:

 

 

 

L'errore assoluto sui 10 periodi è pari a 0.50s perchè, assumendo che l'errore casuale dovuto al tempo di reazione umano sia di 0.25s, commettiamo due volte questo errore, una all'avvio del cronometro, e l'altra alla sua fermata.

 

 

Calcoliamo l'errore relativo commesso sulle misure effettuate:

 

 

 

 

Calcoliamo l'errore percentuale commesso sulle misure effettuate:

 

 


 

Calcolo degli errori sulle misure indirette:

 

Calcoliamo il valor medio del periodo, ricordando che le misure sopra effettuate corrispondono a 10 periodi:

 

 

 

Calcoliamo l'errore relativo sul periodo. Poichè si tratta di un quoziente, l'errore relativo commesso su T è pari alla somma dei singoli errori relativi:

 

 

 

Calcoliamo l'errore assoluto sul periodo:

 

 

 

Calcoliamo l'errore percentuale sul periodo:

 

 

 

Calcoliamo ora l'accelerazione gravitazionale, utilizzando le leggi del pendolo:

 

 

 

Calcoliamo l'errore relativo commesso sull'accelerazione gravitazionale. In questo calcolo sono presenti due differenti tipi di propagazione: la prima, quella della potenza, il cui errore relativo è pari all'errore relativo della base moltiplicato per l'esponente della potenza stessa, e la seconda, quella del quoziente, il cui errore relativo è pari alla somma dei singoli errori relativi commessi sul dividendo e sul divisore:

 

 

 

Calcoliamo l'errore assoluto sull'accelerazione gravitazionale:

 

 

 

Calcoliamo l'errore percentuale commesso sull'accelerazione gravitazionale:

 


 

Commento:

Dal confronto degli errori commessi, è emerso che il valore dell'errore sulla lunghezza è molto più basso, se confrontato con quello del periodo, il quale è molto elevato.

Ciò può essere dovuto sostanzialmente a vari fattori:

  • Innanzitutto, il corpo appeso al pendolo era un cono e ciò ha reso difficoltosa la misurazione della lunghezza del pendolo, poichè era necessario stimare ad occhio il baricentro del corpo stesso. Inoltre, questa particolare forma facilitava il movimento di rotazione del cono sul proprio asse, fattore che potrebbe aver influenzato la misurazione del periodo
  • Anche se poco influente, lo smorzamento del pendolo dovuto all'attrito dell'aria potrebbe aver influenzato le misurazioni riguardanti il periodo
  • Dovendo avviare e interrompere il cronometro al punto più alto raggiunto dal corpo durante l'oscillazione, questo punto è stato stimato ad occhio, e, di conseguenza, ciò ha influenzato le misurazioni relative al periodo. Per ridurre drasticamente gli errori dovuti a questo fattore, bisognerebbe valutare il suddetto punto elettronicamente, cioè, utilizzando un laser o simili.
  • Inoltre, il tempo di reazione umano, da noi stabilito precedentemente come 0.25 s, non è perfettamente veritiero quando generalizzato, cioè, ognuno di noi ha un proprio tempo di reazione, e, di conseguenza, influenza diversamente la misura.

 

Infine, verificando il valore dell'accelerazione gravitazionale da noi trovato  con il valore noto di  possiamo facilmente notare che vi sia compatibilità fra le due misure. Questa compatibilità verrà successivamente analizzata nella seconda parte della relazione.

 

Compatibilità parte 1.png


 

Proporzionalità tra la lunghezza e il periodo del pendolo

Introduzione:

Nel corso della relazione, misureremo alcune coppie di lunghezze e periodi, e successivamente effettueremo l'interpolazione, in modo tale da poter dedurre con l'aiuto del grafico disegnato il tipo di proporzionalità che lega le due variabili. In particolare seguiremo le seguenti fasi:

1.       Misureremo alcune coppie di valori utilizzando i medesimi strumenti di misura della prima parte

2.       Le scriveremo in una tabella

3.       Le rappresenteremo su un piano cartesiano, specificando come variabile indipendente relativa all'asse delle ascisse il periodo  e come variabile dipendente relativa all'asse delle ordinate la lunghezza

4.       Effettueremo l'interpolazione dei punti appena disegnati, deducendo dal grafico ottenuto il tipo di proporzionalità che lega le due variabili

5.       Per accertarci che le nostra ipotesi sia giusta, disegneremo un grafico nel quale figureranno all'asse delle ascisse  e all'asse delle ordinate , in modo tale che questo grafico rappresenti una retta se la nostra ipotesi è giusta. In questa fase, saranno inclusi nel grafico anche gli errori assoluti commessi sulle singole misure, in modo tale da poter dedurre il valore minimo e il valore massimo di

6.       Infine, verrà verificata la compatibilità della nostra  con il valore noto di  e sarà effettuata una prova di estrapolazione

Come nella precedente parte della relazione, le misure del periodo sono state effettuate a gruppi di 10 per ridurre al minimo l'errore del tempo di reazione umano; di conseguenza, nella tabella di raccolta dati saranno presenti valori relativi a 10 periodi consecutivi.

 

Raccolta dati:

 

In questo caso gli errori assoluti commessi su una singola misura di lunghezza corrisponde alla sensibilità dello strumento utilizzato (1mm), mentre per i 10 periodi è il doppio del tempo di reazione umano (0.50s)

 

Lunghezza

10 periodi

1

1.4651

0.001

24.57

0.50

2

1.3645

0.001

23.35

0.50

3

1.2832

0.001

22.63

0.50

4

1.1578

0.001

21.54

0.50

5

1.0532

0.001

20.22

0.50

6

0.9732

0.001

19.56

0.50

7

0.8656

0.001

18.56

0.50

8

0.6245

0.001

15.76

0.50

 


 

Calcolo dei periodi :

 

10 periodi

1

24.57

0.50

2

23.35

0.50

3

22.63

0.50

4

21.54

0.50

5

20.22

0.50

6

19.56

0.50

7

18.56

0.50

8

15.76

0.50

 

1

2

3

4

5

6

7

8


 

Interpolazione dei dati:

 

1.       Rappresentazione delle coppie sul piano cartesiano

 

 

2.       Interpolazione dei punti sopra disegnati

 

 

 

 

 

Dal grafico appena disegnato, che rappresenta una parabola, è possibile dedurre che la proporzionalità che lega   e   è di tipo quadratico.

Ciò è anche dimostrato dal fatto che la formula di cui siamo a conoscenza è riducibile nella seguente equazione rappresentante la proporzionalità quadratica:

 

 

Per accertarci ugualmente che la nostra ipotesi sia corretta, procediamo con il punto successivo.

 

 

Calcolo di   e dei relativi errori:

 

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Grafico determinante la proporzionalità fra   e   e calcolo di  :

 

Massima-Minima.png

Il grafico sopra disegnato rappresenta la proporzionalità che lega   e  , la quale è evidentemente diretta. Ciò conferma la nostra ipotesi iniziale:   e   sono legate da una proporzionalità di tipo quadratica.

In questo grafico, abbiamo disegnato due differenti rette, una rossa e una blu, rappresentanti rispettivamente i valori massimi e minimi di . Su ognuna di queste due rette sono stati evidenziati due punti, i quali saranno utili per determinare i coefficienti angolari delle rette stesse:

 

 

 

Essendo a conoscenza della formula , possiamo facilmente dedurre che:

 

 

 

Conoscendo  e   possiamo calcolare quindi   e i relativi errori:

 

 

 

 

 


 

Commento:

Dal confronto degli errori commessi sulle varie misure, è emerso che gli errori si sono mantenuti quasi sempre stabili, senza particolari differenze: infatti, per quanto riguarda , abbiamo valori che oscillano dal 2% al 3% (e, di conseguenza, su   gli errori raggiungono il 4%-5%), mentre su   raggiunge il 4.1%. Nonostante questa costanza, sono ugualmente dei valori elevati: infatti, durante l'esperimento, sono accaduti degli inconvenienti:

  • In tutte le misure (eccetto la n°4 e la n°5) il corpo appeso al pendolo, poichè aveva una forma conica, ruotava e ciò potrebbe aver deformato la traiettoria del corpo stesso, influenzando, di conseguenza, la misurazione del periodo
  • Inoltre, durante la misurazione del periodo n°6, uno dei 4 fili di spago tramite i quali il corpo era appeso al pendolo ha ceduto e, a causa dello scarso tempo disponibile, le successive misurazioni sono state effettuate con soli 3 fili. Questa situazione potrebbe aver influenzato, quindi, le ultime 3 misurazioni

Gli altri fattori che hanno influenzato le varie misurazioni, essendo gli stessi analizzati nel commento della prima parte della relazione, non sono stati riscritti per non appesantire ulteriormente la relazione.

 

Infine, essendo a conoscenza di tutti i dati necessari, possiamo effettuare le dovute verifiche della compatibilità. Denominiamo  l'accelerazione gravitazionale determinata nella prima parte della relazione e   quella determinata nella seconda parte e verifichiamone la compatibilità con il valore noto di :

 

Compatibilità parte 2.png

 

Innanzitutto, dal grafico si evince che le due misure  e   sono compatibili fra loro (zona verde) e il valore noto di , pari a , è compatibile con entrambi i valori da noi trovati. Questo indica che tutti i procedimenti da noi effettuati hanno portato ad una conclusione positiva.

 

 

 

 

 

Per concludere il processo di interpolazione, effettuiamo ora un esempio di estrapolazione.

Presumiamo di voler conoscere il valore della lunghezza corrispondente ad un periodo di 1.57s:

 

 

Con l'utilizzo del grafico appena disegnato, constatiamo che ad un periodo pari a 1.57s corrisponde una lunghezza di circa 0.740m. Verifichiamo i valori ottenuti con la legge del pendolo:

 

 

La differenza dei due valori ottenuti ( ) è dovuta al fatto che le misurazioni da noi effettuate sono imprecise, e, quindi, i valori ottenuti dai calcoli effettuati, sono anch'essi imprecisi.

 

 


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Data di pubblicazione: 15/10/2009    Ultimo aggiornamento: 01/12/2013
 
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